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- 2024-01-13 发布
龙岩市2020年高中毕业班教学质量检查
数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．设，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，且，则
A． B． C． D．
4．设x，y满足约束条件则的最小值为
A．5 B．2 C． D．
5．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（指标值满分为5分，分值高者为优），分别绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述错误的是
A．甲的六大能力中推理能力最差 B．甲的创造力优于观察能力
C．乙的计算能力优于甲的计算能力 D．乙的六大能力整体水平低于甲
6．在正方体中，E为的中点，F为BD的中点，下列结论正确的是
A． B．
C．平面 D．EF⊥平面
7．已知函数的图象，如图所示，那么的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中满足被3除余2且被5除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是
A．135 B．134 C．59 D．58
9．设，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
10．已知双曲线左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点．若 为等边三角形，则C的渐近线方程为
A． B．
C．或 D．或
11．在正四面体PABC中，点D，E分别在线段PC，PB上，，若的最小值为，则该正四面体外接球的表面积为
A．27π B．54π C． D．
12．已知曲线与的图象关于点对称，若直线与曲线相切，则
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知向量，，若，，则___________．
14．为增强学生的劳动意识，某校组织两个班级的学生参加社区劳动，这两个班级拟从高一年段的两个班级和高二年段的四个班级中选出，则选出的班级中至少有一个班级来自高一年段的概率为______________．
15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则_______，的最大值为_______．
16．已知椭圆的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，若，则C的离心率的取值范围为______________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）记数列的前n项和为，已知，．（1）求数列的通项公式;
（2）设，记数列的前n项和为，求证：．
18．（12分）在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的共同努力，新冠肺炎疫情得到了有效控制．作为集中医学观察隔离点的某酒店在疫情期间，为客人提供两种速食品—“方便面”和“自热米饭”．为调查这两种速食品的受欢迎程度，酒店部门经理记录了连续10天这两种速食品的销售量，得到如下频数分布表（其中销售量单位：盒）：
第天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
方便面
103
93
98
93
106
86
87
94
91
99
自热米饭
88
96
98
97
101
99
102
107
104
112
（1）根据两组数据完成下面的茎叶图（填到答题卡上）;
（2）根据统计学知识，你认为哪种速食品更受欢迎，并简要说明理由;（3）求自热米饭销售量y关于天数t的线性回归方程，并预估第12天自热米饭的销售量（结果精确到整数）．
参考数据：，．
附：回归直线方程，其中，．
19．（12分）在如图所示的几何体ABCDE中，平面ABC，，，F是线段AD的中点，．（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积．
20．（12分）已知点，抛物线上存在一点M，使得直线AM的斜率的最大值为1，圆Q的方程为．（1）求点M的坐标和C的方程;（2）若直线l交C于D，E两点且直线MD，ME都与圆Q相切，证明直线l与圆Q相离．
21．（12分）已知函数．（1）若，求的取值范围;（2）若存在唯一的极小值点，求的取值范围，并证明．
（二）选考题：共10分．请考生在第22．23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy中，直线l过点且倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，l与C交于M，N两点．（1）求C的直角坐标方程和的取值范围;（2）求MN中点H的轨迹的参数方程．
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知函数，且的最大值为3．
（1）求m的值;
（2）若正数a，b，c满足，证明：．
龙岩市2020年高中毕业班教学质量检查
数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
D
B
D
C
A
B
C
B
D
12．【简解】由已知得，，
设切点为，则，得，选D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．；
14．；
15．5，；
6．
16．【简解】如图，设椭圆的右焦点为，连接，
∵AB，互相平分，∴四边形为平行四边形
∴，
∵，∴
由条件知，当B在短轴端点时，最大，
此时在中，，
∴e，
∴，即．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（12分）
解：（1）（法一）
∵，即，
∴，
∴．
∴，即，
∴
又也满足上式，
∴．
（法二）∵，即，
∴
∴
∴，即，
∴，
∴是以为首项的常数列，
∴．
（2）由（1）知，
．
∴，即．
18．（12分）
解：（1）茎叶图如下：
（2）解法一：由（1）中的茎叶图可知，自热米饭的销售量较方便面更高，两种速食品的销售量波动情况相当，所以认为自热米饭更受欢迎．
解法二：方便面的销售量平均值为，
自热米饭的销售量平均值为，
所以自热米饭的销售量平均值比方便面销售量平均值更高，因此认为自热米饭更受欢迎．
（注：本小题只需根据统计学知识参照给分）
（3）计算，
又，，
∴，
．
因此自热米饭销售量y关于天数t的线性回归方程为．
当时，（个），
所以预估第12天自热米饭的销售量为113个．
19．（12分）
证明：（1）∵，F是线段AD的中点，∴．
又，，∴平面ADE，
∴，又，∴，
∵平面ABC，∴，
又∵，∴平面ACD，
∵平面ACD，∴．
（2）∵，，，
又∵，
∴B，C，D，E四点共面，
∴平面BDE，
∵，F为线段AD的中点
∴
．
20．（12分）
解：（1）（法一）设，则，
由已知可得，直线AM的斜率为
当且仅当时，取得最大值1．
∴，解得，
∴，C的方程为．
法二：设，则点M在x轴上方
由已知，当直线AM的斜率为1时，直线AM与抛物线C相切
此时直线AM的方程为，
联立直线AM和抛物线C的方程并整理得
，∴，
解得：，且
∴，C的方程为．
（2）（法一）圆Q的方程可化为
圆Q的圆心为，半径为，
设过点M的直线MA或MB的方程为
化为，则，解得．
不妨设直线MD的方程为，
将直线MD与抛物线方程联立
消去x得．
设，则
∴，
同理设，．
∴，
∴直线l的斜率
∴直线l的方程为，即
∴l的方程，
此时圆心Q到直线l的距离
∴直线l与圆Q相离．……12分
（法二）圆Q的方程可化为．
圆心，半径为．
由题知，直线l的斜率必存在，
设l的方程为．
联立，消去x得
由，得，①
设
则，，②
直线MD的斜率为
直线MD的方程式为，
即
∵MD与圆Q相切，∴
∴，∴
由题知：，
或，
代入②得，
∴，满足①式，
∴直线l得方程为，即．
此时圆心Q到直线l的距离．
∴直线l与圆Q相离．
21．（12分）
（1）的定义域为．
由，得在恒成立，
转化为
令，则，
∴在单调递增，在单调递减，
∴的最大值为，∴．
∴的取值范围是．
（2）设，则，，．
①当时，恒成立，在单调递增，
又，
所以存在唯一零点．
当时，，
当时，．
所以存在唯一的极小值点．
②当时，，在单调递增，，
所以在有唯一零点．
当时，，
当时，．
所以存在唯一的极小值点．
③当时，令，得;
令，得，
∴在单调递增，在单调递减，
所以的最大值为
④当时，，，，
（或用）
由函数零点存在定理知：
在区间，分别有一个零点，
当时，;
当时，;
所以存在唯一的极小值点，极大值点．
⑤当时，，
所以在单调递减，无极值点．
由①②④可知，当时，;
所以在单调递减，单调递增．
所以．
由，得．
所以
，
因为，，
所以，
所以，即;
所以．
22．（10分）
解：（1）C的直角坐标方程为，
即，是以原点为圆心的单位圆
当时，显然直线l与曲线C相离，不合题意．
∴，所以直线l的斜率存在．
∴直线l的方程可写为
∵直线l与曲线C交于M，N两点，
∴圆心O到直线l的距离，
解得
∴或．
（2）（法一）直线l的参数方程为
（t为参数，或）
设M，N，H对应的参数分别为，，，则，
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：
∴，∴，
又点H的坐标满足，
（t为参数，或）
∴点H的轨迹的参数方程为
即（为参数，或）
（法二）
设点，则由可知，
当时有
即，整理得
当时，点H与原点重合，也满足上式．
∴点H的轨迹的参数方程为
（为参数，且或）.
23．（10分）
（1）解：
当时，取得最大值，
∵的最大值为3，
∴，解得．
（2）证明：由（1）得，
∴，即
又a，b，c为正数，
且
（当且仅当时等号成立）
∴．