黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题 9页

‎2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高一（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合2，3，，，则 A. B. C. D. ‎ 2. 下列各组函数表示同一函数的是 A. ， B. ， C. ， D. ，‎ 3. 函数的定义域为 A. B. C. D. ‎ 4. 已知函数，则 A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数 C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 5. 函数的单调递增区间为 A. B. C. D. ‎ 6. 设偶函数的定义域为R，当时是增函数，则，，的大小关系是 A. B. C. D. ‎ 7. 函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的x的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 8. 已知函数，若，则 A. 2 B. ‎4 ‎C. 6 D. 8‎ 9. 设，且，则 A. B. ‎10 ‎C. 20 D. 100‎ 10. 集合，，若，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 11. 已知函数，且是单调递增函数，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 12. 记不大于x的最大整数为，定义函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. ， D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 计算： ______ ．‎ 14. 已知函数在区间上的最大值是，则实数a的值为______．‎ 15. 函数的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是______用区间表示 16. 已知函数其中a，b为常数，，且的图象经过，若不等式在上恒成立，则实数m的最大值为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 17. 已知全集． 求，，； 若，求实数a的取值范围． ‎ ‎2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高一（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合2，3，，，则 A. B. C. D. ‎ 2. 下列各组函数表示同一函数的是 A. ， B. ， C. ， D. ，‎ 3. 函数的定义域为 A. B. C. D. ‎ 4. 已知函数，则 A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数 C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 5. 函数的单调递增区间为 A. B. C. D. ‎ 6. 设偶函数的定义域为R，当时是增函数，则，，的大小关系是 A. B. C. D. ‎ 7. 函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的x的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 8. 已知函数，若，则 A. 2 B. ‎4 ‎C. 6 D. 8‎ 9. 设，且，则 A. B. ‎10 ‎C. 20 D. 100‎ 10. 集合，，若，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 11. 已知函数，且是单调递增函数，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 12. 记不大于x的最大整数为，定义函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. ， D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 计算： ______ ．‎ 14. 已知函数在区间上的最大值是，则实数a的值为______．‎ 15. 函数的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是______用区间表示 16. 已知函数其中a，b为常数，，且的图象经过，若不等式在上恒成立，则实数m的最大值为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 17. 已知全集． 求，，； 若，求实数a的取值范围． ‎ 1. 已知函数． 用定义证明在上是增函数； 求函数在区间上的值域． ‎ 2. 若二次函数满足，且． 求的解析式； 设，求在上的最小值的解析式． ‎ 3. 设函数是定义在R上的奇函数，当时， 确定实数m的值并求函数在R上的解析式； 求满足方程的x的值． ‎ 4. 定义在R上的函数对任意x，都有，且当时，． 求证：为奇函数； 求证：为R上的增函数； 若对任意恒成立，求实数k的取值范围． ‎ 5. 定义：若函数在某一区间D上任取两个实数，，都有，则称函数在区间D上具有性质T． 试判断下列函数中哪些函数具有性质给出结论即可 ；；；． 从中选择一个具有性质T的函数，用所给定义证明你的结论． 若函数在区间上具有性质T，求实数a的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 把A中元素代入中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可． 【解答】 解：把，2，3，4分别代入得：，4，7，10， 即4，7，， 2，3，， ． 故选D． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：A．的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数； B.的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数； C.的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一函数； D.的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数． 故选：C． 通过求定义域可判断选项A，B，D的两函数都不是同一函数，从而A，B，D都错误，只能选C． 考查函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和解析式是否都相同． 3.【答案】D ‎ ‎【解析】解：要使函数有意义，则， 得，得， 即或， 即函数的定义域为， 故选：D． 根据函数成立的条件进行求解即可． 本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键．比较基础． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性与单调性，指数函数及其性质，属于基础题． 由已知得，即函数为奇函数，由函数为增函数，为减函数，结合“增”“减”“增”，可得答案． 【解答】 解：函数的定义域为，‎ ‎， ， 即函数为奇函数， 又由函数为增函数，为减函数， 故函数为增函数． 故选A．‎ ‎ 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解：令，可得函数的对称轴为：， ，是减函数， 由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为， 故选：D． 利用指数函数的单调性，通过二次函数的性质可得结论． 本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由偶函数与单调性的关系知，若时是增函数则时是减函数，  故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小， 故选：A． 由偶函数的性质，知若时是增函数则时是减函数，此函数的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，故比较三式大小的问题，转化成比较三式中自变量，，的绝对值大小的问题． 本题考点是奇偶性与单调性的综合，对于偶函数，在对称的区间上其单调性相反，且自变量相反时函数值相同，将问题转化为比较自变量的绝对值的大小，做题时要注意此题转化的技巧． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：因为为奇函数， 所以， 于是等价于， 又在单调递减， ， ． 故选：C． 根据函数的奇偶性以及函数的单调性求出x的范围即可． 本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查转化思想，是一道常规题． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：函数，， ，，且， 解得， ． 故选：B． 推导出，，且，推导出，由此能求出的值． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：，，又，． 故选：A． 直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可． 本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，是基础题． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：集合，，， 当时，，解得， 当时，，解得． 综上，实数a的取值范围是． 故选：A． 当时，；当时，，由此能求出实数a的取值范围． 本题考查实数的取值范围的求法，考查集合的包含关系、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：函数，函数为递增函数， ，即， 解得． 故选：A． 分段函数的单调递增则需在每一段上单调递增，且在端点处也满足条件列出不等式组求解即可． 本题主要考查了函数单调性的性质，以及分段函数的单调性，同时考查了计算能力，属于基础题． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：，  ， 又当时，； 当   时，， 当   时， 当   时，； 同理，当  时，， 不等式恒成立， 则 ， 所以， 则实数a的取值范围 或， 故选：B． 这是一道取整的问题，先要弄清楚的取值情况，求 的最值时，先平方在求的方法； 这是一道信息题，也是常见的信息，先要对信息进行分析处理，以及平方求最值方法的应用，也可用均值不等式求最值； 13.【答案】3 ‎ ‎【解析】解：：． 故答案为：3． 直接利用对数运算法则化简求解即可． 本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，是基础题． ‎ ‎14.【答案】或 ‎ ‎【解析】解：二次函数对称轴，开口向下， ，则函数在单调递减，时，，解得， ，则函数在单调递增，时，，解得， 故答案为：或． 由函数的解析式可知，对称轴，开口向下，进而求解． 考查二次函数对称轴，开口方向，单调区间，在特定区间内的最值． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：函数的图象如图，时，，时函数是增函数， 函数的图象不经过第二象限，． 故答案为：． 根据条件作出函数的图象，利用数形结合求解即可． 本题主要考查基本函数的图象变换，通过变换了解原函数与新函数的图象和性质． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由题意：函数的图象经过，． 可得，解得 那么不等式在上恒成立， 是递减函数， 当时，y取得最小值为． 则实数m的最大值为． 故答案为：． 根据函数的图象经过，求解a，b的值，带入不等式，根据指数的单调性即可求解m的最大值． 本题考查了指数函数的单调性求解最值问题．属于基础题． 17.【答案】解：，， ，， ； ， ， ，， ， 的取值范围是． ‎ ‎【解析】可以求出集合B，然后进行交集、并集和补集的运算即可； 根据可得出，从而可得出． 考查描述法的定义，交集、并集和补集的运算，以及子集、并集的定义． 18.【答案】解：证明： 任取，，且 ‎ ‎， 又由，则，，， 故，即； 在单调递增； 由知，在单调递增， 则， 故在上的值域是． ‎ ‎【解析】根据题意，任取，，且，用作差法证明即可， 根据题意，由的结论可得在上单调性，据此分析可得答案． 本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及函数的值域，属于基础题． 19.【答案】解：解：设二次函数的解析式为 由已知：， 又 对称轴为 当即时在上单调递增 当即时在上单调递减 当即时在单调递减，在单调递增， 综上可知： ‎ ‎【解析】利用待定系数法设二次函数的方程，由，且可求得方程； 根据区间与轴的关系讨论二次函数的单调性，进而求得最小值． 本题主要考察二次函数解析式的求法，根据函数的单调性求函数的最值和分类讨论的思想． 20.【答案】解：根据题意，是定义在R上的奇函数， 则当时，，解可得：， 设，则，则， 又由，则， 故； 当时，， 令，得，即， 解可得 或，即，； 又由是定义在R上的奇函数，则当时根为； 综合可得：方程的根为，， ‎ ‎【解析】根据题意，由奇函数的性质可得，解可得：，即可得函数的解析式，结合函数的奇偶性分析可得答案； 根据题意，由函数的解析式，当时，，令可得此时方程的根，结合函数的奇偶性分析可得答案． 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式的求法，属于基础题． 21.【答案】证明：令，得得 令，得， ， 为奇函数， 证明：任取，，且， ， ， ， ， 即， 是R 的增函数； 解：， ， 是奇函数， ， 是增函数， ， ， 令，下面求该函数的最大值， 令 则 当时，y有最大值，最大值为， ， 的取值范围是． ‎ ‎【解析】利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数，证明为奇函数； 利用函数单调性的定义，结合抽象函数，证明为增函数 利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可． 本题主要考查抽象函数的应用，利用抽象函数研究函数的奇偶性单调性，以及二次函数的应用．综合性应用． 22.【答案】解：具有性质T． 如果选择证明如下： 任取两个实数， 则， 具有性质T． 由于在区间上具有性质T， 任取，则 ． ， 的取值范围是， ‎ ‎【解析】根据函数的图象判定具有性质T． 选择证明如下：任取两个实数即可． 由于在区间上具有性质T，任取，则，只需在、上恒成立，可求实数a的取值范围． 本题以函数为载体，考查新定义，考查恒成立问题，解题的关键是对新定义的理解，恒成立问题采用分离参数法． ‎