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- 2024-01-12 发布
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第2课时 圆周角定理的推论2
知识点 圆周角定理的推论2
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的________相等；相等的圆周角所对的________也相等．
1．如图3－5－6，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，则∠ADC的度数为( )
图3－5－6
A．90° B．60° C．45° D．30°
2．如图3－5－7，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD＝________°.
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图3－5－7
类型 运用圆周角定理的推论2进行计算或证明
例1 [教材补充例题] 如图3－5－8所示，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．求证：∠BAE＝∠DAC.
图3－5－8
例2 [教材例2针对练] 如图3－5－9所示，在⊙O中，直径AB＝10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．
图3－5－9
【归纳总结】圆周角定理的推论2的转化思想
(1)利用同弧所对的圆周角相等进行角与角之间的转化；
(2)根据同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等将圆周角相等转化为弧相等或弦相等．
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对于推论2，把“在同圆或等圆中”这一条件去掉后，“同弧或等弧所对的圆周角相等”成立吗？“相等的圆周角所对的弧也相等”成立吗？
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详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[答案] B
3．[答案] D
4．[解析] D 在⊙O中，要求相等的圆周角的对数，只需找出相等的弧．先找同弧所对的圆周角，再找等弧所对的圆周角，可知∠ABD＝∠CBD＝∠ACD＝∠DAC，∠BAC＝∠BDC＝∠BCA＝∠BDA，∠BAD＝∠BCD，由以上可知相等的圆周角有13对．
5．[解析] C ∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，∴∠B＝34°.在⊙O中，∵＝，∴∠COE＝2∠B＝68°，∴∠F＝112°.故选C.
6．[解析] D 连结OB，OA，OP，由垂径定理的逆定理可知OB⊥AP；运用圆周角定理及其推论可知△OAB为等边三角形，再运用勾股定理可求出PA的长为5.故选D.
7．[答案] 65°
8．[答案] 45
[解析] ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.
又∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°.
9．[答案] 25
[解析] ∵AB是⊙O的直径，C为⊙O上的点，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝40°，∴∠CBA＝50°.∵＝，∴∠CBD＝∠DBA＝∠CBA＝25°，∴∠CAD＝∠CBD＝25°.
10．[全品导学号：63422258][答案] 40
[解析] 由圆周角定理得∠ADC＝∠ABC＝∠AOC＝×130°＝65°，
∴∠PDE＝∠PBE＝115°，
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∴∠P＝360°－∠PDE－∠PBE－∠DEB＝360°－115°×2－90°＝40°.
11．[解析] (1)由OD⊥AC，OD为半径，根据垂径定理，即可得＝，又由“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可证得BD平分∠ABC；
(2)首先由OB＝OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于点E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB＝90°，继而可证得BC＝OD.
证明：(1)∵OD⊥AC，OD为⊙O的半径，
∴＝，∴∠CBD＝∠ABD，
∴BD平分∠ABC.
(2)∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.
又∵OD⊥AC于点E，∴∠OEA＝90°，
∴∠A＝30°.
又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴在Rt△ACB中，BC＝AB.
∵OD＝AB，∴BC＝OD.
[点评] 本题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
12．证明：连结AD，BC.在△CPB和△APD中，
∠CPB＝∠APD，CP＝AP，∠C＝∠A，
∴△CPB≌△APD(ASA)，∴PB＝PD.
13．解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝∠A.
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又∵C是的中点，
∴∠DBC＝∠CDB＝∠A，
∴∠DBC＝∠BCE，
∴CF＝BF.
(2)5
14．[全品导学号：63422260]解：(1)∵BC＝DC，
∴∠CDB＝∠CBD＝39°.
∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°.
(2)证明：∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE，
而∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD.
∵∠BAE＝∠CBD，∴∠1＝∠2.
[素养提升]
证明：如图，过点C作直径CF，连结AF，BF.
∵OE⊥BC，∴E为BC的中点．
∵CF为⊙O的直径，
∴∠FBC＝90°，即BF⊥BC.
∵点O为圆心，∴OF＝OC，∴OE＝BF.
∵CF为⊙O的直径，
∴∠CAF＝90°，即FA⊥AC.
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又∵AC⊥BD，∴FA∥BD，
∴∠FAB＝∠ABD，
∴＝，∴BF＝AD，
∴OE＝AD.
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