湖南省益阳一中2012届高三上学期第二次月考数学（文）试题 11页

湖南省益阳一中2012届高三上学期第二次月考数学（文）试题 一、选择题 ‎1、不等式的解集是（ ）‎ A.或　‎ B.或 　‎ C.‎ ‎　D.‎ ‎2、已知，，则为( ) ‎ ‎ A. 　　 B. C. D.‎ ‎3、某种商品的零售价2007年比2005年上涨25％，由于采取措施控制物价结果使2009年的物价仅比2005年上涨10％，那么2009年比2007年的物价下降（ ）‎ A.15％ B.12％ C.10％ D.5％‎ ‎4、函数f（x）=的零点所在的一个区间是（ ）‎ A.（-2,-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2）‎ ‎5、记函数的反函数为,若且，则的值是（ ）‎ ‎ A.2 B. C. D.‎ ‎6、设函数则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7、不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎8、若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的(　　)‎ A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 ‎9、下列命题中的真命题是 ( )‎ A.,使得 B.‎ C. D.‎ ‎10、函数 的图象的大致形状是( )‎ 二、填空题 ‎11、下列几个命题：‎ ‎①方程有一个正实根，一个负实根，则； ‎ ‎②函数是偶函数，但不是奇函数；‎ ‎③函数的值域是，则函数的值域为；‎ ‎④设函数定义域为R，则函数与的图象关于轴对称；‎ ‎⑤一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1．‎ 其中正确的有_________________‎ ‎12、幂函数，当时为减函数，则实数m的值为 ‎ ‎13、已知函数的最大值为，最小值为，则______‎ ‎14、若，则= ‎ 三、解答题 ‎15、已知p：∣1－2x∣≤ 5，q：x2－4x+4－‎9m2‎ ≤ 0 (m＞0)，若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．‎ 解析:用 p：∣1－2x∣≤ 5考查解绝对值不等式, q：x2－4x+4－‎9m2‎ ≤ 0 (m＞0)考查解二次不等式, 用p是q的充分而不必要条件考查简易逻辑，是中档题。‎ ‎16、已知函数，求的最大值和最小值．‎ ‎17、‎ 商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：（1）买一个茶壶赠送一个茶杯；（2）按总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不少于4个），若以购买茶杯数为x个，付款数为y（元），试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱．‎ ‎18、已知函数 (a＞0且a≠1).‎ ‎(1) 求的定义域；‎ ‎(2) 判断的奇偶性并予以证明；‎ ‎19、已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=－f(x) ‎（1）求证：f(x)是周期函数；‎ ‎（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x, 求f(x)在［－1，3］的解析式;‎ ‎（3）在(2)的条件下．求使f(x)=－在［0，2 011］上的所有x的个数． ‎20、 设函数（），．‎ ‎(1) 将函数图象向右平移一个单位即可得到函数的图象，试写出的解析式及值域；‎ ‎(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；‎ ‎(3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 答案:B 解析:考查一元二次不等式的求解,是简单题.‎ ‎2、答案:B 解析:考查集合的概念和运算,是简单题.‎ ‎3、答案:B 解析: 该题用实际应用考查指数变化规律以及指数函数,是中档题.设2005年物价为1, 2009年比2007年的物价下降x%,则 ‎4、答案:C 解析:利用研究函数零点的常用方法即由即可推出零点在（0,1）内,也就是简单考查数形结合、函数与方程、函数性质,是简单题.由 ‎5、答案:‎ 解析: 该题通过以及考查指数式与对数式互化以及反函数的概念,再用考查对数恒等式,是中档题. ‎ 由且得:a=3,‎ ‎6、 答案:A 解析:该题只要分别由得:,由得 因此只是简单考查函数性质及解不等式，是简单题。‎ ‎7、 答案: ‎ 解析: 该题通过恒成立问题,考查学生对绝对值的函数图象的认识以及对其求最值,然后转化为解二次不等式，是中档题。‎ ‎8、答案:‎ 解析: 该题通过给出a与b互补的新的概念,考查学生的理解能力、简易逻辑、推理能力，是中档题。‎ 由得若则且所以,‎ ‎9、答案:B 解析: 在选项A中考查三角函数的值域、因为,‎ 在选项B中考查指数函数、导数的运用,设所以,f(x)在(0,)上单调增,所以,; C、D可以用图像排除. 本题还考查了数形结合与简易逻辑,是中档题.‎ ‎10、答案:D 解析:该题只要讨论x>0与x<0即可得出,考查绝对值化为分段函数常用方法,另外考查指数函数图象,是中档题.,‎ 二、填空题 ‎11、 ‎ ‎12、答案:2‎ 解析:只要根据幂函数的定义及性质即可得出,学生在幂函数概念方面容易出错,;考查幂函数概念与性质、函数性质，是中档题。‎ ‎13、 答案:2‎ 解析: 该题且是奇函数的形式的函数,但是不注意又不易看出,增加做题的难度,既考查函数性质又转化化归能力，是中档题。‎ 因为而是奇函数,所以, 2‎ ‎14、 答案:2‎ 解析:考查根式与分数指数互化、指数运算及运算能力，是简单题。‎ 三、解答题 ‎15、 ‎ 解：解不等式可求得：p：－2≤x≤3，‎ ‎ q：2－‎3m≤x≤2+‎3m (m＞0)．‎ 则 p：A={x∣x＜－2或x＞3}，q：B={x∣x＜2－‎3m或x＞2+‎3m，m＞0．‎ 由已知 p q，得AB. ‎ 从而 ．‎ ‎(上述不等式组中等号不能同时取)．经验证为所求实数m的取值范围．‎ ‎16、解析:该题通过研究二次函数在定区间内的值域,考查二次函数的性质、分类讨论、数形结合，是中档偏上题。‎ 解： ‎ 由知，‎ 当时，由于在[0，1]上是减函数，故的最大值为最小值为 ‎ ‎ 当时， 的最大值为，最小值为 当时， 的最大值为，最小值为 ‎17、解析: 列函数关系式要求较低,研究省钱的问题主要通过作差比较即可,主要考查二次不等式、函数性质及其应用数学知识解决问题的能力，是简单题。‎ 解：由优惠办法（1）可得函数关系式为：y1=20×4+5(x－4)=5x+60(x≥4); ‎ 由优惠办法（2）得：y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4), ‎ 对以上两种优惠办法比较得：y1－y2=0.4x－13.6(x≥4),令y1－y2=0,得x=34.‎ 可知当购买34只茶杯时，两法付款相同；‎ 当4≤x<34时，y134时，y1>y2,优惠办法（2）省钱. ‎ ‎(3) 当时，求使成立的的取值范围．‎ 解析: (1)利用求对数函数的定义域简单考查对数函数的性质以及解不等式组; (2)简单考查函数奇偶性的定义及用定义判断函数的奇偶性; (3) 利用不等式考查学生从对数不等式转化为一般不等式的等价性;该题综合考查对数函数及其性质、逻辑推理能力、解不等式、转化化归能力，是中档题。‎ ‎18、解：（1）因为 (a＞0且a≠1)‎ ‎∴，解得 ‎ 故所求函数的定义域为 ‎ ‎（2）由（1）知的定义域为，关于原点对称 又 故为奇函数. ‎ ‎（3）因为当时，在定义域内是增函数，‎ 所以，解得 ‎ 所以，使得成立的的取值范围是. ‎ ‎19、 解析: （1）简单考查周期函数的概念; （2）考查利用函数的周期性、奇偶性研究函数解析式;‎ ‎ (3)可以先求出一个周期内的根的个数再利用周期性产生全部范围内的根的个数,该题考查函数的周期性、奇偶性、解不等式、分类讨论、转化化归能力，是较难题。‎ 解（1）证明:∵f（x+2）=－f（x），∴f（x+4）=－f（x+2）=－［－f（x）］=f（x），‎ ‎∴f（x）是周期函数，且4为一个周期. ‎ ‎（2）解 当0≤x≤1时，f(x)=x,设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x. ‎∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,∴-f（x）=-x，即f(x)=x. ‎ 故f(x)= x(-1≤x≤1) ‎ 又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,∴f(x-2)= (x-2), ‎ 又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），∴-f（x）=（x-2）， ‎∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）.∴f（x）= ‎ 由f(x)=- ,解得x=-1.∵f（x）是以4为周期的周期函数. ‎∴f(x)=- 的所有解为x=4n-1 (n∈Z). ‎ 令0≤4n-1≤2 011,则≤n≤503,又∵n∈Z，∴1≤n≤503 （n∈Z）, ‎∴在［0，2 011］上共有503个x使f(x)=- . ‎ ‎20、 解析: (1)简单考查函数图像的平移及值域的不变性; (2)该题考查把不等式的解集中的整数恰有3个转化为解集的两个端点所在区间问题,从而把问题转化为研究二次方程的根的分布问题;又由于转化后的不等式可以分解因式因此可以化为更简单的问题求解; (3)该题一般的思考应该是分两次研究两个恒成立问题,含有两个参数,增加问题的难度,如果能转化为求公共切线问题,就可以使问题得到简化,因此可以想到这两条曲线是否存在公共点,即探讨两曲线的交点,再研究过交点的公共切线;该题考查函数性质、数形结合、解不等式、导数及其运用、分类讨论、转化化归能力、分析问题解决问题能力，其中(1)是简单题, (2)是中档题, (3)是难题。‎ ‎.解：（1），值域为　　　　　　　　　‎ ‎（2）解法一:不等式的解集中的整数恰有3个，‎ 等价于恰有三个整数解，故，　　　　　　‎ 令，由且， ‎ 所以函数的一个零点在区间， ‎ 则另一个零点一定在区间，　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 故解之得．　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解法二：恰有三个整数解，故，即，‎ ‎，‎ 所以，又因为，　　　‎ 所以，解之得．　　　　　　　　　　　‎ ‎（3）设，则．‎ 所以当时，；当时，．‎ 因此时，取得最小值，‎ 则与的图象在处有公共点．　　　　　　‎ 设与存在 “分界线”，方程为，‎ 即，‎ 由在恒成立，则在恒成立 ．‎ 所以成立，‎ 因此．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 下面证明恒成立．‎ ‎ 设，则．‎ ‎ 所以当时，；当时，．‎ 因此时取得最大值，则成立．‎ 故所求“分界线”方程为：．　　　　　　　　　　　　‎ ‎ ‎