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- 2024-01-08 发布
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第一课 解三角形
[核心速填]
1．正弦定理
(1)公式表达：＝＝＝2R.
(2)公式变形：
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
④＝＝＝＝2R.
2．余弦定理
(1)公式表达：
a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.
(2)推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
[体系构建]
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[题型探究]
利用正、余弦定理解三角形
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小.
【导学号：91432090】
[解] (1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故08，应舍去，所以x＝4－3≈3.9，即这条公路的长约为3.9 km.
(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝·sin∠ADB＝＝0.8，所以cos∠CBD＝0.6.在△CBD中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝sin(∠CBD＋75°)＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC×≈3.9.故景点C与景点D之间的距离约为3.9 km.
[规律方法] 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求.
[跟踪训练]
3．如图13，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
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图13
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km).
【导学号：91432092】
[解] (1)由题意得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，
PC－PB＝1.5×20＝30(km)．
∴PB＝x－12，PC＝18＋x.
在△PAB中，AB＝20 km，
cos∠PAB＝＝＝.
同理cos∠PAC＝.
∵cos∠PAB＝cos∠PAC，
∴＝，解得x＝.
(2)作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·＝≈17.71(km)．
所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km.
与三角形有关的综合问题
[探究问题]
1．如图14所示，向量与的夹角是∠B吗？在△ABC中，两向量·的数量积与余弦定理有怎样的联系？
图14
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提示：向量与的夹角是∠B的补角，大小为180°－∠B，
由于·＝||·||cos A＝bccos A.
所以·＝bccos A＝(b2＋c2－a2)，有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角形问题．
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？
提示：用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免讨论．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值.
【导学号：91432093】
思路探究：(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解．
(2)由(1)结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解．
[解] (1)由·＝2得cacos B＝2.
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.
解得或
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝＝＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因为a＝b＞c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝＝.
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于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
＝×＋×＝.
母题探究：1.(变条件，变结论)将本例中的条件“a>c，·＝2，cos B＝，b＝3”变为“已知S△ABC＝30且cos A＝”求·的值．
[解] 在△ABC中，cos A＝，
∴A为锐角且sin A＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝bc·＝30.
∴bc＝156.
∴·＝||·||cos A
＝bccos A＝156×＝144.
2．(变条件，变结论)在“母题探究1”中再加上条件“c－b＝1”能否求a的值？
[解] 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc(1－cos A)＝1＋2×156×＝25，∴a＝＝5.
[规律方法] 正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.
(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.
(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解.
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