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- 2024-01-08 发布
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.已知复数 (1 )(3 )z i i （i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ）
A.2 B. 2i C.4 D. 4i
解：易知复数 (1 )(3 ) 4 2z i i i ，故 z 的虚部为 2，选 A.
2．设集合 1 1M x x ， 1N x x ，则 M N =( )
A. 1x x B. 1x x 或 2x C. 0 1x x D. 0x x
解：由 1 1 2 0M x x x x x 或 且 1N x x 得 0M n x x ，选 D.
3.已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，当 ( ,0)x 时， 3 2( ) 2f x x x ，则 (3)f =（ ）
A.9 B.-9 C.45 D.-45
解：由 (3) ( 3) ( 27 18) 45f f ，选 C.
4. 若 10,1 bca ，则下列不等式不正确的是（ ）
A． 2019 2019log loga b B.log logc ba a
C． bc abcabc D. bc acaaca )()(
解：由 1,0 1a c b 有 , 0c ba a a c ，故有 ( ) ( )c ba c a a c a ，选 D.
5. 已知函数 2
1( ) 4 4f x x x
，则 ( )f x 的大致图象是( )
A B C D
解：易知当 0 1x 时， ( ) 0f x ； 0 1x x 或 时， ( ) 0f x ，可排除 A、C，又可由 1 1
3 2( ) ( )f f
排除 D，故选 B.
6. 甲、乙两名同学在 6 次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如下，若甲、乙两人这 6 次考试的平
均成绩分别用 x甲 、 x乙 表示，则下列结论正确的是（ ）
A. x x甲 乙 ，且甲成绩比乙成绩稳定
B. x x甲 乙 ，且乙成绩比甲成绩稳定
C. x x甲 乙 ，且甲成绩比乙成绩稳定
D. x x甲 乙 ，且乙成绩比甲成绩稳定
解：根据茎叶图中数据可求得 82x 甲 、 83x 乙 ， 2 74
3S 甲 ， 2 164
3S 乙 故选 C.
安徽六校教育研究会 2020 届高三第一次素质测试
文科数学参考答案
1
7.如图程序框图是为了求出满足3 2 2020n n 的最小偶数 n，那么在
和 两个空白框中，可以分别填入
A. 2020A 和 1n n
B. 2020A 和 2n n
C. 2020A 和 1n n
D. 2020A 和 2n n
解：因为要求 2020A 时输出，且框图中在“否”时输出，所以“ ”内不能输入
“ 2020A ”，又要求 n 为偶数，且 n 的初始值为 0，所以“ ”中 n 依次加 2 可保证其为
偶数，所以 D 选项满足要求，故选：D．
8.函数 sinf x A x （其中 0, 2A ）的图象如图所示，
则 f ( )
A. 1 B. 1
2
C. 2
2
D. 3
2
解：由图象知 1A ， 74 12 3T
，则 2 2T
，此时 sin 2f x x ，将
7 , 112
代入解析式得 7sin 16
，又
2
，则
3
，所以 sin 2 3f x x
，
所以 3sin 3 2f ．故选 D．
9.如图，在平行四边形 ABCD 中， M 、 N 分别为 AB 、 AD 上的点，
且 4
5AM AB
，连接 AC 、 MN 交于 P 点，若 4
11AP AC
，则点 N
在 AD 上的位置为
A. AD 中点 B. AD 上靠近点 D 的三等分点
C. AD 上靠近点 D 的四等分点 D. AD 上靠近点 D 的五等分点
解：假设 AN AD
， 4
5AM AB
，
4 4 4 5 1 5 4
11 11 11 4 11 11AP AC AB AD AM AN AM AN
，
三点 M，N，P 共线， 5 4 2111 11 3 ，故选：B.
2
10．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b 的右焦点为 F ，短轴的一个端点为 P ，直线 : 4 3 0l x y
与椭圆相交于 A 、 B 两点.若| | | | 6AF BF ，点 P 到直线l 的距离不小于 6
5
，则椭圆离心率的取
值范围为（ ）
A． 9(0, ]5
B． 3(0, ]2
C． 5(0, ]3
D． 1 3( , ]3 2
解：设椭圆的左焦点为 F ， P 为短轴的上端点，连接 ,AF BF ，如下图所示：
由椭圆的对称性可知， ,A B 关于原点对称，则OA OB ,
又OF OF ,四边形 AFBF 为平行四边形， AF BF
又 2 6AF BF BF BF a ，解得： 3a ,
点 P 到直线l 距离： 3 6
5 5
bd ，解得： 2b ，即 2 2 29 2a c c ,
0 5c ,
50, 3
ce a
。本题正确选项：C .
11．某罐头加工厂库存芒果 m kg ，今年又购进 n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加
工为芒果罐头。被加工为罐头的新芒果最多为 1f kg ，最少为 2f kg ，则下列坐标图最能准确描
述 1f 、 2f 分别与 n 的关系的是（ ）
解：要使得被加工为罐头的新芒果最少，尽量使用库存芒果，即当 m n m,n 2m3
时,此时 2f 0 ，
当 n 2m 时， 2
n m n 2mf m3 3
，对照图象舍去 B,D;
要使得被加工为罐头的新芒果最多，则尽量使用新芒果，即当
m n mn,n3 2
时 1
m nf 3
，当 m n mn,n3 2
时 1f n ，因为 m 2m2 ，所以选 C.
3
12．如图， 1 2F F、 是双曲线
2 2
2 2 1: 0, 0C ax y
a b b 的左、右焦点，过 2F 的直线与双曲线C 交
于 A B、 两点．若 1 1: : 3: 4 :5AB BF AF ．则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． xy 32 B． xy 22 C． xy 3 D． xy 2
解：设 2 , 3AF t AB x ，则 1 14 , 5BF AFx x ，根据双曲线的定义
得： 1 2 2 1 2AF AF BF BF a ,即 5 3 4 2x t x t x a ，解得：
3 , t x a x
∵ 1 1: : 3: 4 :5AB BF AF ，得 1ABF 是以 B 为直角的直角三角形.
∴ 1
1
| | 3cos 5
ABBAF AF ，可得 2 1
3cos 5F AF ,
2 1F AF 中， 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 1| | | | | | 2 co| s| | |F F AF AF AF AF F AF
2 2 2325 9 2 5 3 525( )x x x x x ，可得 1 2| | 2 13F F x ,因
此，该双曲线的离心率 2 2 13 132 2
c xe a x ，所以渐近线为 xy 32 .
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.若函数 ( ) ln 2f x x ax 的图象存在与直线 2 0x y 垂直的切线，则实数 a 的取值范围
是 ．
解 ： 由 ( ) ln 2f x x ax 有 ' 1( ) 2f x ax ， 则 由 题 意 即 1 12 2ax 在 (0, ) 上 有 解 ， 由
1 1 12 ( , )2 2a x 有实数 a 的取值范围是 1( , )4 .
14.设等 差数列 na 的公 差 d 不为 0， 1 16a d ，若 ka 是 1a 与 2ka 的等 比中项 ，则 k 等
于 ．
解：易知 216 ( 1) ( 15) , 16 (2 1) (2 15)k ka d k d k d a d k d k d ，由 ka 是 1a 与 2ka 的
等比中项可得 216 (2 15) ( 15)a k d k d 化简 2 2 15 0k k 得，有唯一正整数解为 5.
15．将函数 ( ) 4cos 2f x x
和直线 ( ) 1g x x 的所有交点从左到右依次记为 1A ， 2A ，…， 5A ，
若 P 点坐标为 (0, 3) ，则 1 2 5...PA PA PA
_____．
解：
4
函数 ( ) 4cos 2f x x
与 ( ) 1g x x 的所有交点从左往右依次记为 1A 、 2A 、 3A 、 4A 和 5A ，且 1A
和 5A ， 2A 和 4A ，都关于点 3A 对称，如图所示；则
1 2 5 3... 5 5(1, 3)= 5 3)PA PA PA PA
（ ，-5 ，所以 1 2 5...PA PA PA
10.
16．如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 M 是 AD 的中点，
动点 P 在底面 ABCD 内（不包括边界），若 1B P 平面 1A BM ，则 1C P 的最小
值是_____．
解：如图，在 1 1A D 上取中点Q ，在 BC 上取中点 N ，连接 1 1, , ,DN NB B Q QD
/ /DN BM ， 1/ /DQ A M 且 DN DQ D ， 1BM A M M ，
平面 1 / /B QDN 平面 1A BM ，则动点 P 的轨迹是 DN （不含 ,D N 两点），
又 1CC 平面 ABCD ，则当CP DN 时， 1C P 取得最小值,
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10 分）设等比数列 na 满足 1 3 20a a ， 2 4 10a a ，
（Ⅰ）令 1 2 3n nT a a a a ，求 nT 的最大值；
（Ⅱ）令 2logn nb a ，求数列 n na b 的前 n 项和 nS .
解：（Ⅰ）由题 2 4
1 2
1
2
a aq a a
，又由 2
1 1 20a a q 可得 1 16a ，
故
1
5 *116 2 ( )2
n
n
na n N
…………………………………………………2 分
则1 4n 时 1, 5na n 时 1na ， 6n 时，0 1na ，
则 4n 或 5 时， 1 2 3n nT a a a a 最大为16 8 4 2 1024 . ………………5 分
5
（Ⅱ）令 2log 5n nb a n ，则 5(5 ) 2 n
n na b n
4 3 54 2 3 2 (5 ) 2 n
nS n
3 2 41 4 2 3 2 (5 ) 22
n
nS n
两式相减得 3 2 5 41 64 (2 2 2 ) (5 ) 22
n n
nS n …………7 分
1
4
18 1 ( )264 ( 5) 211 2
n
nn
1 464 16(2 1) ( 5) 2n nn
5 4 448 2 ( 5) 2 48 ( 3) 2n n nn n
则 5 *96 ( 3)2 ( )n
nS n n N …………………………………………10 分
18. （本小题满分 12 分）在 ABC 中， , ,a b c 分别为角 , ,A B C 的对边，且
（Ⅰ）求角 A ；
（Ⅱ）若 3a ，求 2b c 的最大值.
解：（Ⅰ）由.有，
可得,易得. ……………………………4 分
（Ⅱ）由 2 3sin sin sin
a b c
A B C ，得 2 2 3(sin 2sin )b c B C
2 3 sin 2sin 120 2 3(2sin 3 cos )B B B B ……………………8 分
2 21sin( )B ，其中 3tan , 0 ,2 2
.
由 20 , 3B
，存在 B 使得
2B ，∴sin( )B 的最大值为 1，
∴ 2b c 的最大值为 2 21 . ………………………12 分
19．（本小题满分 12 分）某商场近 5 个月的销售额和利润额如下表所示：
销售额 x /千万元 3 5 6 7 9
利润额 y /百万元 1 3 3 4 5
（Ⅰ）画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系；
（Ⅱ）求出利润额 y 关于销售额 x 的回归直线方程；
6
（Ⅲ）当销售额为 4 千万元时，利用（Ⅱ）的结论估计该商场的利润额（百万元）.
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
， a y b x
.
解：（Ⅰ）散点图如图所示：
…………………………………………2 分
两个变量正相关，且具有线性相关关系。 ………………………………………4 分
（Ⅱ）易求得 6, 3.2x y ………………………………………………………………5 分
由公式有 2 2 2 2
3 2.2 1 0.2 0 1 0.8 3 1.8 20 0.653 1 1 3 13b
……………………………7 分
且 3.2 0.65 6 0.7a ……… ……………………………………………………………9 分
则线性回归方程为 0.65 0.7y x ……………………………………………………………10 分
（Ⅲ）当 4x 时，由（Ⅰ）可求得 1.9y ，即利润额约为 1.9 百万元。…………………12 分
20．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）连接 1BC ，
因为侧面 1 1BB C C 为菱形，
所以 1B C 1BC ，且 1B C 与 1BC 相交于O 点．
因为 AO 平面 1 1BB C C ， 1B C 平面 1 1BB C C ，
所以 1B C AO ． 又 1BC AO O ，所以 1B C 平面 ABO
因为 AB Ì平面 ABO ，所以 1B C AB …………………………………………4 分
（Ⅱ）由 1AC AB 且 AO 垂直平分 1B C 可知 1ACB 是等腰直角三角形，则 1
1
2AO B C ，
又
得 1 11B C BC B B …………………………………………………………7 分
7
1
2AO ,且等边 1BCB 中， 3
2BO , 故 Rt AOB 中，
221 3 12 2AB
,
又 2
2AC ,易求得等腰 ABC 中 AC 边上的高为 14
4
，
则 1 2 14 7
2 2 4 8ABCS , ………………………………………………………10 分
由
1 1 1
3
8ABC A B C ABCV S h 有 21
7h . …………………………………………12 分
21. （本小题满分 12 分）已知函数 2 lnf x x a x ( )a R .
（Ⅰ）讨论函数 f x 的极值点情况；
（Ⅱ）若 2a ，存在 1x ， 2x ，…， 1 ,nx ee
，使得 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )n nf x f x f x f x 成立，
求 n 的最大值.
解：（Ⅰ）定义域为 0,
222 a x af x x x x ，………………………………………………………………1 分
故当 0a 时， 0f x ，所以函数 f x 在 0, 上单调递增，无极值点； …………2 分
当 0a 时，令 0f x ，得 2
2
ax ，所以函数 f x 在 2 ,2
a
上单调递增；
令 0f x ，得 2
2
ax ，所以函数 f x 在 20, 2
a
上单调递减，有极小值点
2
2a ，无极大
值点；
综上，当 0a 时，无极值点；
当 0a 时，有极小值点
2
2a ，无极大值点. ……………………………………4 分
（Ⅱ）当 2a 时，由（Ⅰ）知，函数 f x 在 1 ,1e
上单调递减，在 1,e 上单调递增.故
min 1 1f x f ， …………………………………5 分
又因为 2
1 1 2 3f e e
， 2 2 25.29 2.7 2 2 2.8 2 5.84f e e ，
故 2
max 2f x f e e . …………………………………7 分
8
故 1 ,x ee
时， 21, 2f x e ， …………………………………8 分
由于 2
1 2 12 1 1 1n ne f e f x f x f x f x n f n ，
则 2 1 7n e .
取 1 2 3 4 5 1x x x x x ，
则 2
1 2 5 5 2f x f x f x e ，
故 n 的最大值为 6. …………………………………12 分
22. （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆O 为 ABC 的内切圆.其中
( , ), (2, 1), ( 1,3)A m n B C .
（Ⅰ）求圆O 的方程及 A 点坐标；
（Ⅱ）在直线 AO 上是否存在异于 A 的定点Q ，使得对圆 O 上任意一点 P ，都有 PA PQ ( 为
常数 ) ？若存在，求出点Q 的坐标及 的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）由 (2, 1), ( 1,3)B C 知直线 BC 的方程为 4 3 5 0x y ，
由于圆O 与线段 BC 相切，所以半径 5 15r ，即圆O 的方程为 2 2 1x y .……2 分
由题意 2 2 1x y 与线段 AC 相切，所以线段 AC 方程为 1x .即 1m .
又 2 2 1x y 与线段 AB 也相切，所以线段 AB 方程为 1y .即 1n .
故 1, 1A .…………………………………………………………………………………4 分
（Ⅲ）设 0 0( , ), ( , )Q x y P x y .则 2 2( 1) ( 1)PA x y ， 2 2
0 0( ) ( )PQ x x y y .
若在直线 AO 上存在异于 A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点 P ，
都有 PA PQ ( 为常数 ) ,等价于 2 2 2 2
0 0( 1) ( 1) ( ) ( )x y x x y y
对圆O 上任意点 ( , )P x y 恒成立.…………………………………………………………6 分
即 2 2 2 2 2 2
0 0( 1) ( 1) ( ) ( )x y x x y y .
整理得 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0(1 )( ) (2 2 ) (2 2 ) 2 ( ) 0x y x x y y x y .
因为点Q 在直线 AO 上，所以 0 0x y .由于 P 在圆O 上，所以 2 2 1x y .
故 2 2 2 2
0 0(2 2 )( ) 3 2 0x x y x 对任意 [ 2, 2]x y 恒成立. ……8 分
9
所以
2
0
2 2 2
0
2 2 0,
3 2 0.
x
x
显然 0 ，所以 0 2
1x .故 2
2
23 0 ，
因为 0 ，解得 2 或 1 . ……………………………………………………10 分
当 1 时， ( 1, 1)Q ，此时 ,Q A 重合，舍去. ……………………………………11 分
当 2 时， 1 1( , )2 2Q ，
综上，存在满足条件的定点 1 1( , )2 2Q ，此时 2 .………………………………12 分
10