2017-2018学年辽宁省实验中学、东北育才学校高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版 21页

绝密★启用前 辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：先化简复数，再由模的公式计算．‎ 详解：，∴．‎ 点睛：本题考查复数的模，解题时把复数化为最简形式后可求解，．‎ ‎2．已知随机变量服从正态分布 ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：由正态分布曲线的对称性求解．‎ 详解：，∴.‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查正态分布，利用正态曲线的对称性可求解概率．即，则，．‎ ‎3．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近年的广告支出与销售额 ‎（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：‎ 经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：求出,代入回归方程计算，利用平均数公式可得出的值.‎ 详解：,‎ ‎,‎ ‎,解得，故选D.‎ 点睛：本题主要考查平均数公式的应用，线性回归方程经过样本中心的性质，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎4．将本不同的书全部分给甲乙丙三若，每人至少一本，则不同的分法总数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：分两种情况：一人得本，另两个人各得本；一人得本，另两个人各得本，分别求出不同的分法即可得结果.‎ 详解：分两种情况：一人得本，另两个人各得本，‎ 有种分法，‎ 一人得本，另两个人各得本，‎ 有种分法，‎ 共有种分法，故选C.‎ 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.‎ 有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.‎ ‎5．用数学归纳法证明不等式 的过程中，从到时左边需增加的代数式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：写出时的不等式，然后与的式子比较可得．‎ 详解：时，不等式为，左边增加的式子为．‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查数学归纳法，数学归纳法中最关键是就是从到时式子的变化，不掌握这个变化，就不能证明结论或者证明不符合数学归纳法思想．‎ ‎6．若的二项展开式各项系数和为，为虚数单位，则复数的运算结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：利用赋值法求得，再按复数的乘方法则计算．‎ 详解：令，得，，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ 点睛：在二项式的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为，二项式系数和为，两者不能混淆．‎ ‎7．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：求出导函数，导函数在上大于等于0恒成立．‎ 详解：，由题意恒成立，∴，．‎ 故选C．‎ 点睛：函数在上是单调函数，则只能为单调增函数或单调减函数，因此有导数（或）恒成立，从而可求解．‎ ‎8．已知均为正实数，则下列三个数，，（ ）‎ A. 都大于 B. 至少有一个不大于 C. 都小于 D. 至少有一个不小于 ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用基本不等式可证明 ，假设三个数都小于，则不可能，从而可得结果.‎ 详解：，‎ 假设三个数都小于，‎ 则，所以假设不成立，‎ 所以至少有一个不小于，故选D.‎ 点睛：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题. 反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．‎ ‎9．甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立。则甲队以获得比赛胜利的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】若是3:2获胜，那么第五局甲胜，前四局2:2，所以概率为 ，故选B.‎ ‎10．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2；③若取出的四张卡片为2张1和2张2；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得结论.‎ 详解：根据题意，分四种情况讨论：‎ ‎①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；‎ 此时有种顺序，可以排出24个四位数.‎ ‎②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，‎ 若重复的数字为1，在2,3,4中取出2个，有种取法，安排在四个位置中，‎ 有种情况，剩余位置安排数字1，可以排出个四位数 同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；‎ ‎③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有种情况，‎ 剩余位置安排两个2，则可以排出个四位数；‎ ‎④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2,3,4中取出1个卡片，‎ 有种取法，安排在四个位置中，有种情况，剩余位置安排1，‎ 可以排出个四位数，则一共有个四位数，故选C.‎ 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.‎ ‎11．已知，若 ，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析： 由定积分的几何意义求得定积分，在二项展开式中令可求解．‎ 详解：由积分的几何意义知，‎ 在中，，‎ 令，则，∴．‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查定积分的几何意义，考查二项式定理的应用．在二项展开式中求与系数和有关的问题通常用赋值法．根据所求和式的结构对变量赋予不同的值可得对应的恒等式．如本题赋值，如果只求系数和，则赋值等等．‎ ‎12．定义在上的偶函数的导函数，若对任意的正实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：构造新函数，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解．‎ 详解：设，则 ，由已知当时，，∴在上是减函数，又∵是偶函数，∴也是偶函数，，‎ 不等式即为，即，‎ ‎∴，∴，即．‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如，，，等等．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．袋中装有个黑球，个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：结合古典概型概率公式，直接利用条件概率公式求解即可 详解：设甲摸到黑球为事件，‎ 则，‎ 乙摸到白球为事件，‎ 则，‎ 设甲摸到黑球的条件下，‎ 乙摸到球的概率为，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查古典概型概率公式以及独立事件的概率公式，条件概率公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于简单题.‎ ‎14．在二项式的展开式中，的系数为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r的值，然后求解的系数即可.‎ 详解：结合二项式定理的通项公式有：，‎ 令可得：，则的系数为：.‎ 点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．‎ ‎15．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.‎ 详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ， ‎ 点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ ‎16．对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现视为条件，若函数，则它的对称中心为__________；并计算 __________．‎ ‎【答案】 . .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：求出，再求得的解，可得的对称中心，利用对称性可计算和．‎ 详解：，，由得，又，‎ ‎∴对称中心为，‎ 从而，‎ ‎∴ ．‎ 故答案为，4034．‎ 点睛：本题考查新定义，考查阅读理解能力、考查分析问题与解决问题的能力．解题中新定义“拐点：实质是示二阶导数的零点，由拐点是对称中心得题中求和可用配对法或倒序相加法求解．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．袋中装有个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是.‎ ‎（1）求白球的个数；‎ ‎（2）从袋中任意摸出个球，记得到白球的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1)5.‎ ‎(2)分布列见解析；.‎ ‎【解析】分析：（1）设黑球的个数为，则白球的个数为 ‎，记两个都是黑球得的事件为，由可得结果；（2）离散型随机变量的取值可能为：，结合组合知识，利用古典概型概率公式根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.‎ 详解：（1）设黑球的个数为，则白球的个数为．‎ 记两个都是黑球得的事件为，‎ 则至少有一个白球的事件与事件为对立事件 所以 解得，‎ 所以白球的个数为.‎ ‎（2）离散型随机变量的取值可能为：‎ 所以的分布列为 因为服从超几何分布，‎ 所以 点睛：本题主要考查对立事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.‎ ‎18．已经函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ①当时，的递减区间是，无递增区间；②当时，的递增区间是，递减区间是．‎ ‎(Ⅱ .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：（Ⅰ）求出导函数，由于定义域是，可按和分类讨论的正负，得单调区间．‎ ‎（Ⅱ）由函数在处取极值得且可得的具体数值，而不等式可转化为，这样只要求得的最小值即可．‎ 详解：（Ⅰ）在区间上，.‎ ‎①若，则，是区间上的减函数；‎ ‎②若，令得.‎ 在区间上，，函数是减函数；‎ 在区间 上，，函数是增函数；‎ 综上所述，①当时，的递减区间是，无递增区间；‎ ‎②当时，的递增区间是，递减区间是．‎ ‎（II）因为函数在处取得极值，所以 解得，经检验满足题意．‎ 由已知，则 令，则 易得在上递减，在上递增，‎ 所以，即.‎ 点睛：本题考查用导数求函数的单调区间、函数极值，用导数研究不等式恒成立问题．不等式恒成立通常通过分离参数法转化为求函数的最值．‎ ‎19．某企业响应省政府号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表是设备改造后的样本的频数分布表.‎ 表：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 频数 ‎（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；‎ 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 不合格品 合计 ‎（2）根据频率分布直方图和表 提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；‎ ‎（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行登记细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价元；其它的合格品定为三等品，每件售价元.根据表的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.‎ 附：‎ ‎【答案】(1)列联表见解析； 有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关。‎ ‎(2)设备改造后性能更优．‎ ‎(3)分布列见解析；.‎ ‎【解析】分析：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表完成列联表，求出，与临界值比较即可得结果；（2）根据频率分布直方图和频数分布表，可得到设备改造前产品为合格品的概率和 设备改造后产品为合格品的概率，从而可得结果；（3）随机变量的取值为：，利用古典概型概率公式，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.‎ 详解：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．‎ 完成下面的列联表：‎ 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 不合格品 合计 将列联表中的数据代入公式计算得：‎ ‎∵，‎ ‎∴有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．‎ ‎（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．‎ 可知，设备改造前产品为合格品的概率约为 设备改造后产品为合格品的概率约为 设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优．‎ ‎（3）由表 1 知：‎ 一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；‎ 二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；‎ 三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为.‎ 由已知得：随机变量的取值为：．‎ ‎∴随机变量的分布列为：‎ ‎∴.‎ 点睛：本题主要考查直方图的应用、离散型随机变量的分布列与期望，以及独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）若，证明：当时，；‎ ‎（2）若在有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：（1）只要求得在时的最小值即可证；‎ ‎（2）在上有两个不等实根，可转化为在上有两个不等实根，这样只要研究函数的单调性与极值，由直线与的图象有两个交点可得的范围．‎ 详解：（1）证明：当时，函数.则，‎ 令，则，令，得.‎ 当时，，当时，‎ 在单调递增，‎ ‎（2）解：在有两个零点方程在有两个根，‎ ‎ 在有两个根，‎ 即函数与的图像在有两个交点．，‎ 当时，，在递增 当时，，在递增 所以最小值为，当时，，当时，，在有两个零点时，的取值范围是．‎ 点睛：本题考查用导数证明不等式，考查函数零点问题．用导数证明不等式可转化这求函数的最值问题，函数零点问题可转化为直线与函数图象交点问题，这可用分离参数法变形，然后再研究函数的单调性与极值，从而得图象的大致趋势．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若曲线与直线相切，求实数的值；‎ ‎（2）若函数有两个零点，，证明.‎ ‎【答案】(1)0.‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：求出导函数，可设切点为，由此可得切线方程，与已知切线方程比较可求得．‎ ‎（2）由可把用表示（注意是，不是它们中的单独一个），这样中的可用代换，不妨设，设，可表示为的函数，然后求得此函数的单调性与最值后可得证．‎ 详解：（1）由，得，设切点横坐标为，依题意得， ‎ 解得．‎ ‎（2）不妨设，由，得，‎ 即，所以 ‎ ，‎ 设，则，，‎ 设，则，即函数在上递减，‎ 所以，从而，即 点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性与最值．函数存在零点且证明与零点有关的问题，可利用零点的定义把参数用零点表示，这样要证明的式子就可表示的代数式，然后只要设，此代数式又转化为关于的代数式，把它看作是的函数，用导数求得此函数的最值，从而证明题设结论．‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】(1) ；.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：第一问将参数方程消参，求得其普通方程，对于曲线，将方程两边同时乘以，再结合极坐标与直角坐标之间的转换关系，求得极坐标方程，第二问将直线的参数方程写出=成标准形式，代入曲线方程，整理，利用韦达定理求得两根和与两根积，结合直线出参数方程中参数的几何意义求得结果.‎ 详解：（1）由（为参数），‎ 可得的普通方程为，‎ 又的极坐标方程为，即，‎ 所以的直角坐标方程为．‎ ‎（2）的参数方程可化为（为参数），‎ 代入得：，‎ 设，对应的直线的参数分别为，，‎ ‎，，所以，，‎ 所以．‎ 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的知识，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义等，在解题的过程中，需要注意韦达定理的应用以及直线的参数方程是否是标准式.‎ ‎23．设函数的最小值为.‎ ‎（1）求实数 m 的值；‎ ‎（2）已知 ，且满足，求证：.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：（1）由绝对值三角不等式可得最小值；‎ ‎（2）由（1）已知可变为，，展开后可用基本不等式求得最小值，从而证明结论．‎ 详解：（1）函数 ‎ 故的最小值.‎ ‎（2）由（1）得，故，‎ 故 ‎ ‎，‎ 当且仅当，即时“”成立．‎ 点睛：本题考查绝对值不等式的性质，考查基本不等式求最值．用绝对值三角不等式求得最值是求的最小值的常用方法．而用“1”的代换求最值是基本不等式应用的常见题型，要牢牢掌握．‎