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- 2024-01-07 发布
数学试卷（理工类） 第 1页 共 8 页
2020 年高三学年第四次高考模拟考试
数学 试卷（理工类）
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考
试时间 120 分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签
字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；
（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案
无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第 I 卷 （选择题, 共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．)
1. 设集合 03 xxA , 集合 022 xxxB , 则 BA
A. 2, B. 3, C. 2,1 D. 2,1
2. 复数 z 的共轭复数为 z , 且满足 5 zz , 则复数 z 的模是
A. 1 B. 2 C. 5 D. 5
3. 已知向量 m )2,3( , n ),4( x , 若 m n, 则 x
A. 6 B.
3
8 C.
3
8 D. 6
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4. 中国的 5G 技术领先世界, 5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：
2log 1 SC W N
. 它表示:在受噪声干扰的信道中, 最大信息传递速率C 取决于
信道带宽W , 信道内信号的平均功率 S , 信道内部的高斯噪声功率 N 的大小, 其中
S
N
叫做信噪比. 当信噪比比较大时, 公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式,
若不改变带宽W , 而将信噪比 S
N
从 1000 提升至 4000, 则C 大约增加了
附： 3010.02lg
A. 10% B. 20% C. 50% D. 100%
5. 若 yx, 满足约束条件
5
12
1
yx
xy
y
, 则 yxz 3 的最大值为
A. 2 B. 4 C. 11 D. 14
6. 函数 xx
xxxf
55
sin5)(
3
的图象大致为
C D
A
y
o x1－1 o x
y
1－1
B
o x
y
1－1 o x
y
1－1
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7. 一个物体做变速直线运动, 在时刻 t 的速度为 2)( 3 ttv ( t 的单位: h, v 的单位:
km/h), 那么它在 10 t 这段时间内行驶的路程 s (单位: km)的值为
A.
3
2 B.
4
7 C.
3
5 D. 2
8. 为了得到函数 cos2y x 的图象, 只需把函数 2sin cos6 6y x x
的图象
A. 向右平行移动
12
个单位长度 B. 向左平行移动
12
个单位长度
C. 向左平行移动
6
个单位长度 D. 向右平行移动
6
个单位长度
9. 已知圆 2 2
1 : 0C x y kx y 和圆 2 2
2 : 2 1 0C x y ky 的公共弦所在的直线
恒过定点 M , 且点 M 在直线 2 nymx 上, 则 22 nm 的最小值为
A. 1
5
B. 5
5
C. 2 5
5
D. 4
5
10. 已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的外接球的体积为 4
3 , 将正方体割去部分后,
剩余几何体的三视图如图所示, 则剩余几何体的体积为
A. 27
32 B. 27
34
C. 27
316 D.
3
2
正视图 侧视图
俯视图
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11. 若实数 ba, 满足 baba lglg)21lg(2 , 则 ab 的最小值为
A. 2 B. 22 C. 2lg3 D. 2lg
12. 已知函数 12ln2)( xkxf x , 若 2ln3)( xf 恒成立, 则实数 k 的取值范围是
A. ,5 B. ,8 C. ,10 D. ,11ln3
第Ⅱ卷 （非选择题, 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
13. 若
5
1,3~ BX , 则 12XE .
14. 若锐角 满足
5
3
4cos ）（ , 则 ）（
42sin = .
15. 我国在北宋年间(公元 1084 年)第一次印刷出版了《算经十书》, 即贾宪的《黄帝九
章算法细草》,刘益的《议古根源》, 秦九韶的《数书九章》, 李冶的《测圆海镜》和
《益古演段》,杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》, 朱世杰的
《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰, 其
中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．哈三中图书馆中正好
有这十本书，现在小张同学从这十本书中任借三本阅读, 那么他借到的三本书中书名
中恰有一个“算”字的概率为 .
16. 经过原点的直线交椭圆 12
2
2
2
b
y
a
x 0 ba 于 ,P Q 两点（点 P 在第一象限）,
若点 P 关于 x 轴的对称点为 M ，且 1
3PA PM
，直线QA 与椭圆交于点 B ，且满
足 BP PQ ，则直线 BP 和 BQ的斜率之积为 , 椭圆的离心率为 .
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三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分 12 分）
已知各项均为正数的数列 na , 其前 n 项和为 nS , 满足
2
2
nn
n
aaS .
(1) 求数列 na 的通项公式;
(2) 若
1
12
nn
a
n aab n , 求数列 nb 的前 n 项和 nT .
18.（本小题满分 12 分）
如 图 , 四 棱 锥 P ABCD 的 底 面 ABCD 是 矩 形 , 平 面 PAD 平 面 ABCD ,
2PA PD , 且 PA PD , 点 N 为 BC 中点.
(1) 证明：平面 PAB 平面 PCD ;
(2) 直线 PB 和平面 PAD 所成的角为 45，求二面角 A PN B 的余弦值.
N
A D
P
CB
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19. （本小题满分 12 分）
已知某种新型病毒的传染能力很强, 给人们生产和生活带来很大的影响, 所以创新
研发疫苗成了当务之急．为此, 某药企加大了研发投入, 市场上这种新型冠状病毒的
疫苗 A 的研发费用 x （百万元）和销量 y （万盒）的统计数据如下：
研发费用 x （百万元） 2 3 6 10 13 14
销量 y （万盒） 1 1 2 2.5 4 4.5
（1）根据上表中数据, 建立 y 关于 x 的线性回归方程 axby ˆˆˆ （用分数表示）;
（2）根据所求的回归方程, 估计当研发费用为1600万元时, 销售量为多少？
参考公式： 1
2
1
( )( )
( )
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
n
i
i
n
i
ii
xnx
yxnyx
1
22
1 , xbya ˆˆ .
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20．（本小题满分 12 分）
已知圆 M 经过点 0,1 且与直线 1y 相切, 圆心 M 的轨迹为曲线 C , 过点
0,2N 做直线与曲线 C 交于不同两点 ,A B , 三角形OAB 的垂心为点 H .
(1) 求曲线C 的方程;
(2) 求证：点 H 在一条定直线上，并求出这条直线的方程.
21. 已知函数 axxf x e)( 的图象与直线 xy )1(e2 2e 相切.
(1) 求实数 a 的值;
(2) 若存在实数 k 满足 0)( kf 且 0)1( kf , 求证: )1ln(e kkxx .
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请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分 10 分）[4-4:极坐标与参数方程]
在直角坐标系中, 直线l 的参数方程为
ty
t,x
2
1
2
33
（ t 为参数）, 以坐标
原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为
sin4 ,若直线l 与曲线C 交于 BA, 两点.
(1) 若 )0,3(P ，求 PBPA ;
(2) 若点 M 是曲线C 上不同于 BA, 的动点，求 MAB 面积的最大值.
23. （本小题满分 10 分）[4-5:不等式选讲]
已知函数 kxxf 3)( , 1)( xf 的解集为
3
11 xx .
(1) 若存在 x , 使 axxf 13)( 成立, 求实数 a 的取值范围;
(2) 如果对于 yx, 满足 412 yx , 13
7 y , 求证: 9)( xf .