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- 2024-01-05 发布
2019年学年上海市嘉定区封浜高中第一学期期中测试
高二数学试卷
一、填空题（共54分，前6题每题4分，后6题每题5分）
1.线性方程组的系数矩阵是_________________
【答案】
【解析】
【分析】
系数矩阵就是由方程组的系数组成的矩阵,由方程组写出矩阵即可
【详解】由题,由系数矩阵定义即可得系数矩阵为
故答案为：
【点睛】本题考查系数矩阵的定义,属于基础题
2.已知向量 ，则向量的模为__________
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的模的定义可得,求解即可
【详解】由题,,
故答案为：
【点睛】本题考查向量的模,考查向量的坐标表示,是基础题
3.在三阶行列式中，5的余子式的值为_______
【答案】
【解析】
【分析】
由余子式的定义可得5的余子式为,求解即可
【详解】由题, 5的余子式为
故答案为：
【点睛】本题考查余子式的值,考查运算能力,属于基础题
4.计算：____________
【答案】
【解析】
【分析】
利用数列的极限的运算法则化简求解即可
【详解】,
故答案为：
【点睛】本题考查数列极限的运算法则的应用,属于基础题
5.已知，则向量的坐标为__________
【答案】
【解析】
【分析】
由可知,可求得,代入的坐标中即可
【详解】由题,当,则,即,
所以
故答案为：
【点睛】本题考查向量的坐标表示,考查已知向量垂直求参问题,考查运算能力
6.，，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据矩阵乘法运算法则直接求解即可得到结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查矩阵乘法的运算，属于基础题.
7.执行如图所示的程序框图，若输入,则输出的值为_____________
【答案】
【解析】
【分析】
输入时,,不满足,进而可得,得到,满足条件,输出即可
【详解】输入,则,,否,则；
当时,则,,是,则输出
,
故答案为：
【点睛】本题考查程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题
8.向量，则向量在向量方向上的投影是_______
【答案】
【解析】
【分析】
根据方向投影的定义可得,代入求解即可
【详解】由题,向量在向量的方向上的投影为
故答案为：
【点睛】本题考查向量中投影应用,考查运算能力
9.用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由数学归纳法可知时,左端为,到时,左端,从而可得解..
【详解】用数学归纳法证明等式时,
当时，左边所得的项是;
假设时,命题成立,左端为
;
则当时,左端为,
所以从“”需增添的项是.
故填:.
【点睛】本题考查数学归纳法证明的第二步：归纳递推, 从“”需将“”代入所需证明的表达式中，明确其具体含义，是个易错点，属于中档题.
10.如果，则实数a的取值范围是_____
【答案】
【解析】
试题分析：首先时，结论成立，当时，由题意，则，即，综上．
考点：数列的极限．
11.在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为____．
【答案】-3
【解析】
【分析】
据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．
【详解】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；
∴；
∴a=b+2，或b=a+2；
且；
∴；
当a=b+2时，；
∵b2+2b﹣2的最小值为；
∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．
12.设等比数列的通项公式为，前项和为．若，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．
【详解】等比数列{an}的通项公式为a=qn﹣1（n∈N*），可得a1=1，
因为=，所以数列的公比不是1，
，an+1=qn．
可得====，
可得q=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．
二、选择题（共20分，每题5分）
13.如果，，则是的（ ）
A. 充分条件 B. 充要条件 C. 必要条件 D. 非充分非必要条件
【答案】B
【解析】
分析】
根据行列式的运算性质，求得，得到，再由，可得到，即可判定，得到结论.
【详解】根据行列式的运算性质，可得，即，可得，
反之：若，可得，即，
所以是的充要条件.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及平面向量共线条件的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合平面向量的共线定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题.
14.无穷数列4 ，，1，，，的各项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等比数列的前项和公式,结合极限的计算,求得所求数列各项和
【详解】由题观察可得,,即是首项为,公比为的等比数列,则
,则无穷数列的各项和为
故选：A
【点睛】本题考查无穷等比数列各项和的计算,考查极限的运算,属于基础题
15.若，则下列各式中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意在线段中得到与和的位置关系，根据向量共线定理对逐个选项逐一判断即可得到结果.
【详解】∵，故可得与和的位置关系如图所示：
且，
由向量共线定理可得，，，，
可得不正确的为A，
故选:A.
【点睛】本题主要考查了向量共线定理，由题意得到与和的位置关系是解题的关键，属于中档题.
16.已知正整数数列中，，且对任意大于1的整数，点总在直线
上，则等于（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
将点代入直线即可判断出为等差数列,进而求出的通项公式.再代入求解即可.
【详解】由题意,故,所以是以为首项,为公差的等差数列.所以,故,
所以
故选：A.
【点睛】本题主要考查等差数列用定义判定的方法.
三、解答题（共76分，14+14+14+16+18）
17.利用行列式讨论关于的方程组解的情况.
【答案】①当时，方程组有唯一解；②当时，方程组无解；③当时，方程组有无穷多解，可表示为.
【解析】
【分析】
由题,可得,分别讨论方程组有唯一解,无解,无穷多解的情况即可
【详解】,
,
,
①当时,方程有唯一解,,即；
②当时,，,方程组无解；
③当时,,方程组有无穷多解,设,则原方程组解
可表示为.
【点睛】本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想
18.已知，点满足
（1）若，求的值；
（2）当为何值时，点在直线上？
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】
（1）先求出,,可得,则,求解即可；
（2）由（1）解得,将坐标代入中即可求得值
【详解】（1）由题,,,
因为,
所以,即,解得或
（2）由（1）可知
因为,所以
因为点在直线上,
则,即
【点睛】本题考查向量的坐标表示,考查向量的线性运算,考查向量的模的应用,考查运算能力
19.在中,,边的中点分别是,若.
（1）分别用表示和；
（2）求所成钝角的大小(结果用反三角函数表示).
【答案】（1），；（2）（答案形式不唯一）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得,,整理即可；
（2）利用数量积求向量和的夹角余弦值,再利用反三角函数表示钝角即可
【详解】（1）由题,可得,
（2）由题,,则
,即
,即
则所成钝角为
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查数量积的应用,考查反三角函数求角,考查运算能力
20.已知数列的前项和为，，
（1）分别计算；
（2）猜想通项公式，并用数学归纳法证明之.
【答案】（1）；（2），证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分别令,,代入中求解即可；
（2）利用数学归纳法证明：当时,易证命题成立；假设时,命题成立,利用该归纳假设,去证明当时,命题也成立
【详解】（1）由题,当时,,则,即,
当时,,则,即,
当时,,则,即
（2）,
证明：①当时,,命题成立；
②假设当时,命题成立,即,
则当时,,
则,即,
所以,
所以当时,命题也成立
由①②知,命题对都成立,即
【点睛】本题考查已知与的关系求项,考查数学归纳法的应用,考查推理论证的能力,考查运算能力
21.我们把一系列向量按次序排成一列,称之为向量列,记作.已知向量列满足且.
（1）证明数列是等比数列;
（2）求间的夹角;
（3）设,问数列中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在,最小项为
【解析】
【分析】
（1）通过向量模的定义计算即可证明；
（2）由数量积的定义求解即可；
（3）通过假设数列中的第项最小,找出数列的单调性计算即可
【详解】（1）证明：根据题意,
得,
当时,
所以,数列是首项为,公比为的等比数列
（2）由（1）可得,
,
所以
（3）数列中存在最小项,
由（1）可得, ,
所以,
假设中的第项最小,由,,
所以,
当时,有,由得,
即,则,整理得,
解得或（舍）,
所以时,即有,
由,得,又,
所以
故数列中存在最小项,最小项是
【点睛】本题考查向量的模的应用,考查等比数列的证明,考查数量积的应用,考查数列的单调性的应用,考查运算能力