专题02+常用逻辑用语（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习 22页

本专题要特别小心：‎ ‎1.命题与开语句混淆陷阱；‎ ‎2.否命题与命题的否定陷阱；‎ ‎3.隐含条件陷阱；‎ ‎4.互逆命题陷阱；‎ ‎5.分类讨论陷阱；‎ ‎6．充分性必要性混淆陷阱；‎ ‎7.新定义问题；‎ ‎8.全称与特称否定陷阱.‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．理解命题的概念及命题构成，了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；‎ ‎2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；‎ ‎3．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；‎ ‎4．理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．‎ ‎【知识要点】‎ ‎1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎2．四种命题及其关系 ‎(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的条件是第二个命题的结论，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．‎ ‎(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题．‎ 注意：“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若p，则q”，那么这个原命题的否定是“若p，则非q”，即只否定结论，而原命题的否命题是“若非p，则非q”，即既否定命题的条件，又否定结论．‎ ‎(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得到的命题是原命题的逆否命题．‎ ‎(4)一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p，q的否定，于是四种命题形式是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p ；否命题：若非p，则非q；逆否命题：若非q，则非p．‎ ‎(5)四种命题之间的关系 注意：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．‎ ‎(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性不一定相同．‎ ‎3．充分条件与必要条件 ‎(1)若 p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．‎ ‎(2)若p⇔q，则p是q的充分必要条件，即充要条件．‎ ‎4．逻辑联结词 命题中的或，且，非叫逻辑联结词．‎ ‎(1)当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中至少有一个是假命题时，p∧q是假命题．‎ ‎(2)当p，q两个命题中至少有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．‎ ‎5．全称量词、存在量词 ‎(1)全称量词 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，简记作∀x∈M，p(x) ．‎ ‎(2)存在量词 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 ，并用符号∃‎ 表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”，简记作∃x0∈M，p(x0)．‎ ‎(3)两种命题的关系 全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．‎ 注意：同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.‎ 一、单选题 ‎1．【上海市2018二模】“”是“”成立的 ( )．‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若，可能，充分性不成立，‎ 若且，则，必要性成立，‎ 综上可得：“”是“且”成立的必要非充分条件.‎ 本题选择B选项.‎ ‎2．【2018衡水金卷】设随机变量，则使得成立的一个必要不充分条件为（ ）‎ A. 或 B. C. D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】由，得到=，故3m=3，得到m=1,则使得成立的充要条件为m=1,故B错误；因为是的真子集，故原题的必要不充分条件为或.‎ 故答案为：A.‎ ‎3．【金华十校2018年4月高考模拟】“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎【答案】A ‎ ‎ ‎4．【荆州市2018模拟】 “”是“直线与直线相互垂直”的（　　）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分也非必要 ‎【答案】B ‎【解析】时，两条直线分别化为：，此时两条直线相互垂直，满足条件；由“直线与直线相互垂直”，可得，，解得或，“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件，故选B.‎ ‎5．【2018天一联考】“”是“方程表示双曲线”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】表示双曲线，则有；当 或 时方程无意义，故“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.故选C.‎ ‎6．【2018豫南联考】下列说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ B. 命题“，”的否定是“，”‎ C. 函数的最小值为 D. 若，则“”是“”的必要不充分条件 ‎【答案】D ‎7．【2018豫南联考】已知，则是为纯虚数的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】先考虑充分性，当x+y=0时，不一定为纯虚数，因为x-y=0时，它是实数.所以是非充分条件. ‎ 再考虑必要性，当为纯虚数时，则有x+y=0且x-y≠0,所以必要性成立.‎ 故选C.‎ ‎8．设且，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎9．【2018兰州市2018届高三一诊】设：实数，满足 ；：实数，满足，则是的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 ‎【来源】2018年高考数学备考中等生百日捷进提升系列（捷进提升篇）专题07 不等式 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 画出表示的区域，如图所示的， 表示的区域是，为等腰直角三角形，表示的区域是以为圆心，以为半径的圆，而其内切球半径为，圆心，满足 的点在内切圆内，是的必要不充分条件，故选B．‎ ‎10．若命题：“存在，使成立”为假命题，则实数的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知，任意使，即对恒成立，因为 =，当且仅当，即时，=，所以≤，所以实数的取值范围为（-∞，），故选A．‎ ‎11．【衡水金卷调研卷】已知， ，则点在直线的右下方是双曲线的离心率的取值范围为的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎12．【荆州2018模拟】设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由，得，即，即.‎ ‎∴，即.‎ 当时，易得.‎ ‎∴“”是“”的充要条件.‎ 故选C.‎ ‎13．【2018郑州二模】命题“”的否定为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】全称性命题的否定是特称性命题，所以选C.‎ ‎14．已知下列命题中：（1）若，且，则或；（2）若，则或；（3）若不平行的两个非零向量， ，满足，则；（4）若与 平行，则其中真命题的个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎15．若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】若命题“，使得”为假命题，‎ 则命题“，使得”为真命题，‎ 所以，解得. ‎ 故选A.‎ ‎16．【沈阳市东北育才学校2018模拟】命题“”是命题“直线与直线平行”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】当两直线平行时， ，当m=2时，两直线均为x+y=0，不符。当m=-2时，两直线分别为x-y-4=0,x-y-2=0不重合，符合。所以m=-2是两直线平行的充要条件，选C.‎ ‎17．下列命题中，真命题的是 A. “,”的否定是“,”‎ B. 已知，则“”是“”的充分不必要条件 C. 已知平面满足，则 D. 若，则事件与是对立事件 ‎【答案】B ‎18．唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）‎ A. 充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】因为：不到蓬莱→不成仙，∴成仙→到蓬莱，“成仙”是“到蓬莱”的充分条件，选A.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎19．在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）；（2）；（3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）；（2）；（3），正确的个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为；,,‎ 所以① 正确，②③错误，选B ‎20．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(　　)‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎21．给定两个命题，“为假”是“为真”的    ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若“为假”，则“为真”，包括真假， 假真， 为真，当真假， 假真时，“为假”，所以充分性不成立；‎ 若“为真”，则为真，必有“为假”.‎ 故选B.‎ ‎22．设有下面四个命题：‎ ‎①“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题 ‎②若,则 ‎③“”是“或”的充分不必要条件 ‎④命题“中，若，则”的逆命题为真命题 其中正确命题的个数是( )‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎23．已知等差数列的前项和为，“， 是方程的两根”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】∵， 是方程的两根 ‎∴，∴+‎ ‎∴‎ ‎∴充分性具备；‎ 反之，不一定成立.‎ ‎∴“， 是方程的两根”是“”的充分不必要条件 故选：A ‎24．给出下面四个命题：①；②；③； ‎ ‎④。其中正确的个数为（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】根据向量加法的运算法则得到①；②是正确的；‎ 由向量减法的三角形法则得到③故命题不正确；‎ ‎④则 ，不能说明 故正确的为①②‎ 故答案为：B.‎ ‎25．下列说法中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与不是共线向量 ‎【答案】C ‎26．已知， ，则“”是“直线与 平行”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 ‎【答案】B ‎27．命题函数且图像恒过点命题有两个零点，则下列结论中成立的是 A. 为真 B. 为真 C. 为假 D. 为真 ‎【答案】A ‎【解析】函数图像恒过点 所以命题不正确；根据偶函数可知命题正确，所以根据复合命题的判断方法可知正确，故选A. ‎ ‎28．设，则“”是“ ”为偶函数的 （ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】如果为偶函数，则，‎ 所以,所以“”是“ ”为偶函数的充要条件.故选C. ‎ ‎29．已知四个命题：‎ ‎①如果向量与共线，则或；‎ ‎②是的必要不充分条件；‎ ‎③命题： ， 的否定： ， ；‎ ‎④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”‎ 此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.‎ 以上命题正确的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎30．下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆命题 B. 命题“若，则”的否命题 C. 命题“若，则”的逆否命题 D. 命题“若，则”的逆命题 ‎【答案】D ‎【解析】命题“若，则”的逆命题为“若，则”，由于 ，所以为假命题；‎ 命题“若，则”的否命题为“若，则”，由于，所以为假命题；‎ 命题“若，则”的逆否命题与原命题同真假，因为，所以为假命题；‎ 命题“若，则”的逆命题为“若，则”，因为，所以为真命题；选D.‎ ‎31．是“函数的最小正周期为”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】因为函数，它的周期是，显然“”可得“函数的最小正周期为” ，“函数的最小正周期为”推不出“”， 是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件，故选A. ‎ ‎32．设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题：‎ ‎①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量；‎ ‎②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；‎ ‎③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量．‎ 其中真命题的序号是_______________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎33．已知命题， 恒成立，命题，使得，若命题为真命题，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当P为真命题时， 恒成立，所以， ，当Q为假命题时， 为真命题，即，所以，又命题为真命题，所以命题都为真命题，则 ，即。故实数的取值范围是。‎ ‎34．在中， ， ，则是以为斜边的直角三角形的充要条件是__________．‎ ‎【答案】或 ‎ ‎ ‎35．下列命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是；‎ ‎③已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心；‎ ‎④在中，，边长分别为，则只有一解；‎ ‎⑤如果△ABC内接于半径为的圆，且 则△ABC的面积的最大值；‎ 其中正确的序号为_______________________。‎ ‎【答案】①③⑤‎ ‎【解析】① ‎ 若,则 代入上式得到，故正确；‎ ‎②已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是且，故选项不正确；‎ ‎③已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，记BC中点为E，则，则2，AE直线过重心，故P一定过重心；‎ ‎④根据正弦定理得，asinC=csinA，∴sinC=，故不成立.‎ ‎∵2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，∴根据正弦定理，得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，‎ 可得a2+b2﹣c2=ab ‎ ‎ ‎36．若“”为真命题，则实数的最大值为________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】因为“”为真命题，‎ 所以的最小值，‎ 因为为增函数，所以的最小值为，‎ 因此即实数的最大值为0.‎ ‎37．已知命题，使得成立；命题抛物线的焦点在直线的右侧.‎ ‎(Ⅰ)若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若命题“或”，为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) 或 ‎【解析】试题分析：(Ⅰ) 命题为真不等式无解，则 即可求得的取值范围. (Ⅱ) 命题为真不等式有解，则 即可求得的取值范围；为真命题则焦距大于1即；依题意命题，一真一假，分情况讨论：当真假时；当假真时，综上可得出的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)∵命题，使得成立∴恒成立，要使命题为真命题，则需，解得.‎ ‎ ‎ ‎38．设命题关于的不等式，；命题关于的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零；命题的解集.‎ ‎（1）若为值命题，为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或.（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，先化简命题p、q和r，再由题得，一真一假，最后求出实数a的范围.(2)第（2）问，先写出和，再根据是的必要不充分条件列出不等式，即得实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ 对于命题：，解得或，‎ 对于命题：只需，解得，‎ 对于命题：关于的不等式的解集为．‎ ‎（1）若为真命题，为假命题，‎ 则，一真一假， ‎ 当真假时，解得；‎ 当假真时，解得，‎ 综上可知，实数的取值范围是或.‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，则，所以，‎ 所以或或，‎ 所以解得．‎ 综上，实数的取值范围是．‎ ‎39．已知下列两个命题： 函数在[2，＋∞)单调递增； 关于的不等式的解集为.若为真命题， 为假命题，求的取值范围．‎ ‎【答案】{m|m≤1或2＜m＜3}．‎ ‎【解析】试题分析:先根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定P为真命题时的取值范围，根据二次函数图像确定一元二次不等式恒成立的条件，解得为真命题时的取值范围，再根据为真命题， 为假命题得P与Q一真一假，最后分类讨论真假性确定的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎40．设命题实数使曲线表示一个圆；命题实数使曲线 表示双曲线.若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据圆的性质先求出命题成立时的取值范围，根据双曲线的性质求出命题成立时，根据是的充分不必要条件列出不等式，解不等式即可.‎ 试题解析：对于命题： 表示圆，所以 解得： 或 对于命题 ，即或 ‎ 是的充分不必要条件 ‎ ， ‎ 故实数的取值范围 ‎ ‎41．【2018新余模拟】已知命题： ，命题： .‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)2;(2) 实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法把集合化简后，由，借助于数轴列方程组可解的值；（2）把是的充分条件转化为集合和集合之间的包含关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎37．【2018安徽师大模拟】设命題方程有两个不相等的负根，命题 恒成立.‎ ‎（1）若命题均为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若命题为假，命题为真，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先分析命题：根据方程有两个不相等的负根，可根据判别式和根与系数的关系列式，命题 ，当均为真命题时，即求两个命题取值范围的交集；（2）若满足条件，根据真值表可知一真一假，分真假，或假真解得的取值范围.‎ 试题解析：（1）若命题为真，则有 ‎，解得 若命题为真，则有，解得 若均为真命题，则，即.‎ 即的取值范围是.‎ 方法规律总结：‎ ‎1．逻辑中“或”、“且”、“非”的含义与集合中“并”、“交”、“补”的含义非常类似，在一定条件下可相互转化．‎ ‎2．判定复合命题真假的办法是：首先判定简单命题的真假，再判定复合命题的真假．‎ ‎3．否命题与命题的否定是两个不同的概念，要会区别，另外要掌握一些常见词的否定词．‎ ‎4．原命题⇔它的逆否命题，原命题的逆命题⇔原命题的否命题，因此，判定四种命题的真假时，只需5．因为“p⇒q”⇔“非q⇒非p”，意思为若“p⇒q”等价于没有q就没有p，所以p是q的充分条件等价于q是p的必要条件，他们是同一逻辑关系的不同表述．‎ ‎6．求充要条件与证充要条件一样，必须注意充分性与必要性两个方面，二者的差异是：证明时，条件结论都已知道，但求充要条件时，一般不知道条件，故必须先由结论出发，求出必要条件，再验证充分性．‎ ‎7．要判断一个全称命题的真假，必须对限定的集合M中的每一元素x，验证p(x)是否成立．要判断一个特称命题是真命题，只要能在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题．‎ ‎8．注意：一个全称命题的否定是特称命题，如命题“∀x∈M，p(x)成立”的否定“∃x0∈M，p(x0)不成立”；特称命题的否定是全称命题，如命题 ‎“∃x0∈M，p(x0)成立”的否定“∀x∈M，p(x)不成立”．‎