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- 2024-01-02 发布
2016-2017学年度重庆育才中学高三3月份复习
数 学 试 卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.若为实数且，则（ ）
A． B． C． D．
2、下列函数为奇函数的是( )
A． B． C． D．
3、 =( )
A. B. C. D.
4、二项式的展开式中的系数为15，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5、设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6、设，是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集，，“”是“ ”的充分必要条件；命题②：对任意有限集，，，，（ ）
A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立
C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立
7、设为所在平面内一点，则（ ）
（A） (B)
（C） (D)
8、已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|= （ ）
A、2 B、 C、6 D、
9、如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
10、将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）
A．对任意的， B．当时，；当时，
C．对任意的， D．当时，；当时，
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的
12、曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .
13、在 的展开式中，的系数为 .
14、在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 .
15、设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、设.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.
17、
已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.
18、如图，在三棱柱-中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.
（1）证明：D平面；
（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.
19、已知函数，其中.
(I)讨论的单调性；
(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
(III)若关于的方程有两个正实根，求证：
20、已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，
的直线的距离为．
（I）求椭圆的离心率；
（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
21、已知数列与满足，.
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；
（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.
2016-2017学年度重庆育才中学高三3月份复习
数 学 试 卷 答 案
一、选择题
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
C
C
A
A
C
B
D
二、填空题
11、充要条件 12、 13、 14、 15、
三、 解答题
16、解析：（I）由题意知
由 可得
由 可得
所以函数 的单调递增区间是 ；
单调递减区间是
17
故的分布列为
.
18、解析：（1）根据条件首先证得平面，再证明，即可得证；（2）
作，且，可证明为二面角的平面角，再由
余弦定理即可求得，从而求解.
试题解析：（1）设为的中点，由题意得平面，∴，∵，
∴，故平面，由，分别，的中点，得且
，从而，∴四边形为平行四边形，故，又∵
平面，∴平面；（2）作，且，连结，
由，，得，由，
，得，由，得，因此为二面角
的平面角，由，，，得，
，由余弦定理得，.
19
(2)当为偶数时，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以，在上单调递增，在上单调递减.
(II)证明：设点的坐标为，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则
由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有.
(III)证明：不妨设，由(II)知，设方程的根为，可得
，当时，在上单调递减，又由(II)知可得.
类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，
，即对任意，
设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此.
由此可得.
因为，所以，故，
所以.
20、解析：（I）过点，的直线方程为，
则原点到直线的距离，
由，得，解得离心率.
(II)解法一：由（I）知，椭圆的方程为. (1)
依题意，圆心是线段的中点，且.
易知，不与轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得
设则
由，得解得.
从而.
于是.
由，得，解得.
故椭圆的方程为.
解法二：由（I）知，椭圆的方程为. (2)
21、【解析】（1）由，得，
所以是首项为，公差为的等差数列，
故的通项公式为，.
证明：（2）由，得.
所以为常数列，，即.
因为，，所以，即.
故的第项是最大项.
解：（3）因为，所以，
当时，
.
当时，，符合上式.
所以.
因为，所以，.
①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；
②当时，的最大值为，最小值为，而；
③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.
综上，的取值范围是.