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- 2024-01-01 发布
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6.构造等边三角形
1.公园里有一块形如四边形的草地，测得米，，．请你求出这块草地的面积？
答案：见解析
解析：
延长交于，连结，
∵，∴，
∴是等边三角形，
∵，∴，
∴，，
∵，∴，
∴，，
∴这块草地的面积为平方米．
2.如图：已知,点在线段上且；是线段上的动点,分别以为边在线段的同侧作等边和等边,连结,设的中点为；当点从点运动到点时,则点移动路径的长是____．
答案：3
解析：分别延长交于点，易证四边形为平行四边形，得出为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
解：如图，分别延长AE、BF交于点H．
∵∠A＝∠FPB＝60°，∴AH∥PF，∵∠B＝∠EPA＝60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．∵CD＝10－2－2＝6，∴MN＝3，即G的移动路径长为3
3.四边形，有，，．请你求____.
答案：75
解析：
延长交于，连结，
∵，∴，
∴是等边三角形，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∴
4.如图，四边形 中， 是对角线， 是等边三角形． ，则 的长为____.
答案：4
解析：首先以为边作等边，连接，利用全等三角形的判定得出 ，进而求出 的长即可．
解：如图，以为边作等边，连接
，
在 和 中，
，
．
又 ，
．
在 中， ，
于是 ，
．
5.如图所示，在中，是内两点，平分，若，则的长度是__.
答案：8
解析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出，进而得出 为等边三角形， 为等边三角形，从而得出 的长，进而求出答案．
解：延长 交 于 ，延长 交 于 ，作 于 ，
平分 ，
，
，
为等边三角形，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
6.如图，六边形 中，每一个内角都是．求这个六边形的周长为_____.
答案：116
解析：凸六边形，并不是一规则的六边形，但六个角都是 ，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．
解：如图，分别作直线 的延长线和反向延长线使它们交于点 ．
六边形 的六个角都是120°，
六边形 的每一个外角的度数都是60°．
都是等边三角形．
．
．
六边形的周长为： ．
7.如图，已知 ， 平分 ，若 ，则 的长是_____.
答案：5
解析：在 的延长线上取点 ，使 ，连接 ，则可证得 为等边三角形，再结合条件可证明 ，可得 ，再利用线段的和差可求得 ，则可求得 .
解：在 的延长线上取点 ，使 ，连接，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
8.如图，在 中， 是 内两点， 平分 ，若 ，则 ____．
答案：62
解析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出 ，进而得出 为等边三角形， 为等边三角形，从而得出 的长，进而求出答案．
解：延长 交 于 ，延长 交 于 ，作 ，
， 平分 ，
，
，
为等边三角形，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为62．
9.如图，过边长为的等边 的边 上一点 ，作 于 为 延长线上一点，当 时，连 交 边于 ，则的长为____.（注：若答案不是整数，请化为小数）
答案：0.5
解析：过 作 交 于 ，得出等边三角形 ，推出 ，根据等腰三角形性质求出 ，证 ，推出 ，推出即可．
解：过 作 交 于．
， 是等边三角形，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
．
10.如图， 中， 平分 是 内两点，且 ，若 ，则_____.
答案：10
解析：延长 交 于 ，延长 交 于 ，根据等腰三角形的性质得出 ，进而得出 为等边三角形，从而得出 的长，进而求出答案．
解：延长交 于 ，延长 交 于 ，
平分 ，
，
，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：10．
11.如图，凸四边形 满足条件： 那么 ____．（填“大于”或“小于”或“等于”）
答案：等于
解析：延长 到点 ，使得 ，连接 和 ，根据已知条件和所作辅助线可得 与 均为等边三角形，证明 和 全等即可证明；
解：延长 到点 ，使得 ，连接 和.
∵
∴
又 ，
与 均为等边三角形
,即
在 和 中
，
∴
∴
∵
．
故答案为：相等
12.已知：如图，等边 中， 是 边上一动点，作 ，垂足为 ；作 ，垂足为 ；作 ，垂足为 ．
（1）设 ，求 与 之间的函数关系式；
（2）当点 和点 重合时，求线段 的长；
（3）当点 和点不重合，但线段 延长线相交时，求它们与线段 围成的三角形周长的取值范围．
答案：见解析
解析：（1）由已知等边 中，可得每个角都是 ，由作 ，垂足为 ；作 ，垂足为 ；作 ，垂足为 ，得三个直角三角形且都有 的角，据此用 可表示出 ，相继表示出 ，求出与之间的函数关系式．
（2）由已知可列出方程组结合已知求出 的长．
（3）当线段 相交时，根据已知得到它们与线段围成的三角形三个角都是
解：（1） 是等边三角形， ．
．
又 ．
，．
，
．
（2）由方程组
得 ．
当点和点重合时，，
．
（3）设线段 的延长线相交于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
且当点和点 重合时， 最短为.
且当点和点 重合时， 最长为
．
13.如图，在四边形 中， ，连接 交于点 ．
（1）若 ， 为线段 上一点，且 ，连接 ，求点 到 的距离．
（2）证明： ．
答案：见解析
解析：（1）由条件可以证明，可以得出 ， ，求出 ，由勾股定理可以求出 ，由 可以求得 的值，在 中由勾股定理可以求出 的值，从而求出 的值，过点 作 于 ，利用三角形的面积相等建立等量关系就可以求出结论．
（2）要证 ，延长 到 ，使 ，则求 即可．由 ，得 是等边三角形，进而得 又有 ，则 是等边三角形，所以得 ，则 ．
解：（1） ，
是等边三角形，
．
，
，
．
，
， ．
，
， ，
，在 中由勾股定理得
过点 作 于点 ．
．
，
．
即点 到 的距离．
（2）证明：延长 到点 ，使 ，连接 ， ，
是等边三角形，
，
，
．
，
，
是等边三角形，
，
，
又 ，
，
，
即 ．
14.已知：如图，在等边三角形 中，点 是 边上的一个动点（ 与 不重合），延长 到 ，使 ，连接 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 的边长为 ，设 ，求 与 的函数关系式，写出自变量的取值范围．
答案：见解析
解析：（1）过 作 交 于 ，则 为等边三角形，得 ，而 ，得到 ，易证得 ，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）得 ，得到 ，易得 ，而 ，即有 ，即可得到 与 间的函数关系式．
解：（1）证明：过 作 交 于，
，
又∵在等边三角形 中， ，
，
是等边三角形，
，
又 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（2）由（1）得 ，
，
由（1）得 是等边三角形，
，
又 ，
，
即．
15.如图，在四边形 中， ．
（1）求 的度数．
（2）求四边形 的面积．
答案：见解析
解析：（1）连接 ，根据 ，得出 是等边三角形，求得 ，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形 是直角三角形，从而求得 ；
（2）根据四边形的面积等于三角形 和三角形 的和即可求得；
解：（1）连接 ，
，
是等边三角形，
，
，
则 ，
，
，
；
（2）．
16.已知：如图，四边形 中， ．
（1）连接 的形状是？
（2）求证： ．
答案：见解析
解析：（1）根据全等三角形的判定定理“有一内角为 的等腰三角形是等边三角形”推知 是等边三角形．
（2）如图，以 为边向形外作等边 ，连接 ．构造全等三角形（ ），然后根据全等三角形的性质、勾股定理证得结论．
解：（1）如图，连接 ．
，
是等边三角形；
故答案是：等边三角形；
（2）如图，以 为边向形外作等边，连接．
由（1）知，是等边三角形，
则 ，
在 与 ，
∵ ，
，
，
，
在 中，有 ，即 ．
17.如图，在 中， 是三角形外一点，且 ．求证： ____°．
答案：60
解析：首先延长 至 ，使 ，连接 ，由 ，易得 是等边三角形，继而证得 ，则可证得： ．
证明：延长 至 ，使 ，连接，
，
，
，
是等边三角形，
，
在 和 中，
，
，
．
18.如图，凸六边形 的六个角都是 ，边长 ，求出这个六边形的周长为____ .
答案：46
解析：凸六边形，并不是一规则的六边形，但六个角都是 ，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．
解：如图，分别作直线 的延长线使它们交于点 ．
因为六边形的六个角都是，
所以六边形的每一个外角的度数都是 ．
所以三角形 、三角形 、三角形 、三角形 都是等边三角形．
所以 ．
所以 ， ， ．
所以六边形的周长为 ．
19.如图，在六边形中， ．
（1）试说明 为等边三角形；
（2）请探索 之间的关系（等量关系或位置关系）并说明理由．
答案：见解析
解析：（1）根据多边形的内角和定理求出 ，求出 ，得出等边三角形 ，推出 ，同理求出 是等边三角形，推出 ，求出 ，即可求出答案．
解：（1）作直线 、直线 、直线 和 交于 和 交于 和 交于 ，
， ，
，
，
，
为等边三角形．
（2） ，
理由是： ，
，
，
是等边三角形，
，
同理 ，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
， ，
．
20.如图所示，一个六边形的六个内角都是 ，其中连续四边的长依次是 ．求这个六边形的周长为____.
答案：42
解析：首先延长并反向延长 ，两两相交于点 ，可得 是等边三角形，同理： 是等边三角形，即可求得 与
的长，继而求得答案.
解：如图，延长并反向延长 ，两两相交于点，
六边形 的每个内角都是，
，
是等边三角形，
同理： 是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
六边形的周长 ．
