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- 2024-01-01 发布
市一中2019-2020学年度第二学期线上教学测试
高二数学试题（理）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1.复平面内表示复数的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，进而可得出该复数在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】因为复数，它在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，
故选：A.
【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的判断，同时也考查了复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.
2. 关于综合法和分析法说法错误的是（ ）
A. 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B. 综合法又叫顺推证法或由因导果法
C. 分析法又叫逆推证法或执果索因法
D. 综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分析法和综合法的概念可得出合适的选项.
【详解】选项A成立，选项B和C是综合法的思路就是由因导果法，和分析法的概念，是执果索因法，正确．选项D不符合定义，排除D选项.
故选：D.
【点睛】本题考查对分析法和综合法概念的理解，属于基础题.
3. 下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )
A 三角形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 矩形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行六面体的结构特征可得出合适的选项.
【详解】根据题意 ，由于平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象，那么最适合的为平行四边形的运用，故可知答案为C.
故选：C.
【点睛】本题主要是考查了类比推理的运用，属于基础题．
4.在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为条时，第一步应验证等于（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
数学归纳法第一步应验证n最小时，命题是否成立.
【详解】多边形的边数最少是3，即三角形，所以第一步应验证等于3.
故选：C.
【点睛】本题考查数学归纳法的定义及步骤，考查学生对数学归纳法的理解，是一道容易题.
5.已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用条件概率公式计算可得结果
【详解】由条件概率公式得.
故选：B.
【点睛】本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题.
6.函数导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 函数的递减区间为
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极小值
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的图象写出的单调区间即可.
【详解】由图可知：
在和上单调递减，
在和上单调递增
所以在处取得极小值
故选：D
【点睛】本题考查的是利用导数的图象得的单调性和极值点，较简单.
7.设函数f，则定积分等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的解析式结合定积分公式可求得的值.
【详解】，因此，，
故选：C.
【点睛】本题考查定积分的计算，考查计算能力，属于基础题.
8.已知，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数求导，并令代入可求得.将的值代入可得导函数，即可求得的值.
【详解】函数，则，
令代入上式可得，则，
所以，
则，
故选：A.
【点睛】本题考查了导数的定义与运算法则，在求导过程中注意为常数，属于基础题.
9.若，则
A. 8 B. 7 C. 6 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据排列数，组合数的公式，求得，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，根据排列数、组合数的公式，可得，
即，解得，故选A．
【点睛】本题主要考查了排列数，组合数的应用，其中解答中熟记排列数，组合数的计算公式，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
10.函数在区间上最小值为( )
A. 72 B. 36 C. 12 D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据给出的函数求出导函数；再令，求出单调递增区间，再令，求出单调递减区间，确定出函数上的单调性，从而求出最小值.
【详解】解：，令，即
解得
当时，
当时，
∴，
而端点的函数值，，得．
故选D.
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，关键是确定函数在区间上的单调区间，进而确定最值.
11.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种
【答案】D
【解析】
4项工作分成3组,可得：=6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：种．
故选D.
12.若函数在上是单调函数，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由求导公式和法则求出f′（x），由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．
【详解】解：由题意得，f′（x），
因为在[1，+∞）上是单调函数，
所以f′（x）≥0或f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
①当f′（x）≥0时，则在[1，+∞）上恒成立，
即a，设g（x），
因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，
当1时，g（x）取到最大值是：0，
所以a≥0，
②当f′（x）≤0时，则在[1，+∞）上恒成立，
即a，设g（x），
因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，
当时，g（x）取到最大值是：，
所以a，
综上可得，a或a≥0，
所以数a的取值范围是（﹣∞，]∪[0，+∞），
故选：B．
【点睛】本题查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查分离常数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13.在的展开式中，的系数与的系数之和等于___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式定理求出展开式中的系数与的系数，相加即可得出结果.
【详解】由的展开式通项公式可知的项为，的项为，
，因此，的系数与的系数之和等于.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用二项式定理求项的系数和，考查计算能力，属于基础题.
14.若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
分别令和，再将两个等式相加可求得的值.
【详解】令，则；
令，则.
上述两式相加得.
故答案为：.
【点睛】本题考查偶数项系数和的计算，一般令和，通过对等式相加减求得，考查计算能力，属于中等题.
15.定积分____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据定积分的几何意义即可求出．
【详解】令，则（x1）2+y2＝1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，其面积为π，
所以表示半径为1的四分之一圆的面积,如下图.
故答案为
【点睛】本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础题．
16.用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ．
【答案】
【解析】
【分析】
用组成无重复数字的五位奇数，可以看作是个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从个奇数中任选个填入个位,其它个数在个位置上全排列即可.
【详解】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有3种排法，然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理得，由组成的无重复数字的五位数中奇数有个.故答案为：.
【点睛】本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于中档题.元素位置有限制的排列问题有两种方法：（1）先让特殊元素排在没限制的位置；（2）先把没限制的元素排在有限制的位置.
17.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，令，求出的最大值即可求出参数的取值范围；
【详解】解：因为的定义域为，且函数在上单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立，
令
当时
所以即
故答案为：
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.
三、解答题（本大题共4小题，共44分）
18.用数学归纳法证明：
．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
按照数学归纳法的步骤证明即可.
详解】证明（1）当时，左边，右边，命题成立．
（2）假设时，命题成立，即．
则当时，
．
所以当时，命题成立．
综合（1）（2）可知，原命题成立．
【点睛】本题考查利用数学归纳法证明恒等式，考查学生对数学归纳法的理解与掌握，是一道容易题.
19. 袋中装有4个白棋子，3个黑棋子，从袋中随机地取出棋子，若取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，现从袋中任取4个棋子．
（1）求得分的分布列；
（2）求得分大于6的概率．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）确定随机变量的可能取值，并计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出的分布列；
（2）根据题意得出，进而可求得结果.
【详解】（1）由题意可知，随机变量的取值为、、、.
，，
，.
所以，随机变量的分布列为
（2）根据的分布列，可得到得分大于的概率为.
【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的列举，同时也考查了事件概率的计算，考查计算能力，属于中等题.
20.已知函数，，若在处与直线相切．
（1）求的值；
（2）求在上的极值．
【答案】（1） （2）极大值为，无极小值．
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，利用切线意义可列得方程组，于是可得答案；
（2）利用导函数判断在上的单调性，于是可求得极值.
【详解】解：（1）
∵函数在处与直线相切，
∴，即，解得；
（2）由（1）得：，定义域为．
，
令，解得，令，得．
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴在上的极大值为，无极小值．
【点睛】本题主要考查导数几何意义，利用导函数求极值，意在考查学生的分析能力，转化能力和计算能力，比较基础.
21.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证.
试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当x∈时，；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.
所以等价于，即.
设g（x）=lnx-x+1，则.
当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.
【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.
（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.