2017-2018学年安徽省六安市舒城中学高二下学期第一次统考（开学考试）数学（理）试题（解析版） 15页

‎2017-2018学年安徽省六安市舒城中学高二下学期第一次统考（开学考试）数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且 ，则 (　 　)‎ A. －3 B. －1 C. 1 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C.‎ ‎2．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 (　 )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：如图，几何体为棱长为2的正方体切下如图所示的两个三棱锥，切下的小三棱锥的侧棱长为1，所以该多面体的表面积为，故选C.‎ ‎【考点】1.三视图；2.多面体的体积和表面积.‎ ‎3．3．函数的图象在点处的切线方程是，则等于 (　 　)‎ A. 1 B. 2 C. 0 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得： ，‎ 则等于.‎ 本题选择B选项.‎ ‎4．下列命题正确的个数为（ ）‎ ‎①“都有”的否定是“使得”；‎ ‎②“”是“”成立的充分条件；‎ ‎③命题“若，则方程有实数根”的否命题为真命题 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由存在性命题与全称命题的否定的形式可知答案①是错误的；当，但，故命题②也是不正确的；由于当时， ，即方程有实数根，所以三个答案中只有一个是真命题，应选答案B。‎ ‎5．若，则的最小值为（ ）‎ A．8 B．6 C．4 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由，得，即 ‎，则有，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故选C．‎ ‎【考点】1、对数的运算；2、基本不等式．‎ ‎6．正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】连接，取中点，连接，设棱长为，，中可求得，，异面直线与所成的角即 ，故选C.‎ ‎7．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则= ( )‎ A. 2 B. 4 C. －2 D. －4‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线的渐近线方程是 ，直线的斜率是，所以 ‎，解得，故选B.‎ ‎8．已知点在椭圆上，点为椭圆的右焦点，的最大值与最小值的比为2,则这个椭圆的离心率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】的最大值是，的最小值是，所以 ，即，故选B.‎ ‎9．已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点.若四边形的最小面积是2，则的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.2‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：如图所示，根据对称性可知，当取得最小值时面积取得最小值，而，所以当最短时，最小，即时最小，此时，四边形的面积为，解得.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系.‎ 涉及比较多的知识点，一是连接圆心和切点的直径和切线垂直；二是根据对称性，将四边形的面积转化为两个直角三角形面积的和；三是最值问题，用化归与转化的数学思想方法转化为点到直线距离的距离来求解.四是点到直线的距离公式，还有圆的一般方程配成标准方程得到圆心和半径.‎ ‎10．直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，交其准线于点,已知,则 ( )‎ A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 过分别做准线的垂线交准线于两点，设 ，根据抛物线的性质可知，，根据平行线段比例可知，即，解得 ，又，即 ，解得，故选C.‎ ‎【点睛】抛物线的定义在解题中的应用，当已知曲线是抛物线时，可利用抛物线上的点满足定义，点到焦点的距离转化点为到准线的距离，这样可利用三角形相似或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题 ‎11．已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：如图所示，设两三角形外心分别为,球心为，,故，球的半径为，故球的表面积为.‎ ‎【考点】几何体外接球.‎ 二、填空题 ‎12．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是____________．‎ ‎【答案】1ln2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．‎ 所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－ln4，f(x)无极大值．‎ ‎(2)令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x. 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，‎ 故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，因此，当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2＝，‎ 从而<，>＝‎ 因此异面直线AP与BE所成角的大小为．‎ ‎（2）由（1）可知，＝（0，1，1），＝（2，2，0），＝（2，2，－2）．‎ 设＝λ，则＝（2λ，2λ，－2λ），从而＝＋＝（2λ，2λ，2－2λ）．‎ 设m＝（x1，y1，z1）为平面DEF的一个法向量，‎ 则即 取z1＝λ，则y1＝－λ，x1＝2λ－1．‎ 所以m＝（2λ－1，－λ，λ）为平面DEF的一个法向量．‎ 设n＝（x2，y2，z2）为平面DEB的一个法向量，‎ 则即 取x2＝1，则y2＝－1，z2＝1．‎ 所以n＝（1，－1，1）为平面BDE的一个法向量．‎ 因为二面角F－DE－B的正弦值为，所以二面角F－DE－B的余弦的绝对值为，‎ 即|cos|＝，‎ 所以，，‎ 化简得，4λ2＝1，因为点F在线段PB上，所以0≤λ≤1，所以λ＝，即．‎ ‎【考点】用向量法求异面直线所成的角，二面角．‎ ‎21．在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1） （2）没有 ‎【解析】解：(1)由已知条件知直线l的方程为 y＝kx＋，‎ 代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.‎ 整理得x2＋2kx＋1＝0.①‎ 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，‎ 解得k<－或k>，‎ 即k的取值范围为∪.‎ ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，‎ 由方程①得x1＋x2＝－.②‎ 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，③‎ 而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)，‎ 所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)．‎ 将②③代入上式，解得k＝.‎ 由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）试讨论函数的单调性；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）时，在上递减，时，时递减，时递增；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）判断单调性，定义域为，只要求得导数，判断 的正负即可，此题需要按和分类讨论；（2）证明此不等式的关键是求的最大值，由导数的知识可得最大值为，即，当时，．从而，这样要证不等式的左边每一项都可以放大：，并且再放大为，求和后，不等式右边用裂项相消法可得．‎ 试题解析：（１）由题可知，‎ 定义域为，‎ 所以， ‎ 若，恒成立，在单调递减.‎ 若，，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增.‎ ‎（2）令，则，‎ 设，由于，令得，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减 所以，‎ 所以当时，对恒成立，即，‎ 从而，‎ 从而得到，对依次取值可得 ‎…，，‎ 对上述不等式两边依次相加得到：‎ ‎，‎ 又因为，‎ 而，‎ 所以,‎ 所以 ‎【考点】导数与单调性，用导数证明不等式．‎