2018-2019学年天津市部分区高二上学期期末考试数学试题（解析版） 16页

2018-2019 学年天津市部分区高二上学期期末考试数学试题 一、单选题 1．双曲线 ﹣y2＝1 的焦点坐标为（ ） A．（﹣3，0），（3，0） B．（0，﹣3），（0，3） C．（﹣ ，0），（ ，0） D．（0，﹣ ），（0， ） 【答案】C 【解析】利用双曲线的标准方程直接计算。 【详解】 由双曲线 ﹣y2＝1 可得： ，则 所以双曲线 ﹣y2＝1 的焦点坐标为：（﹣ ，0），（ ，0） 故选：C 【点睛】 本题主要考查了双曲线的简单性质，属于基础题。 2．命题“∃x0∈（0，+∞），使得 ＜ ”的否定是（ ） A．∃x0∈（0，+∞），使得 B．∃x0∈（0，+∞），使得 C．∀x∈（0，+∞），均有 ex＞x D．∀x∈（0，+∞），均有 ex≥x 【答案】D 【解析】由特称命题的否定直接写出结果即可判断。 【详解】 命题“∃x0∈（0，+∞），使得 ＜ ”的否定是： “ x∈（0，+∞），使得 ” 故选：D 【点睛】 本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题。 3．若复数 （ 为虚数单位），则 的共轭复数 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ，应选答案 B。 4．设 R，则“ ＞1”是“ ＞1”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由 可得 成立，反之不成立，所以“ ”是“ ” 的充分不必要条件 【考点】充分条件与必要条件 5．设公比为﹣2 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S5＝ ，则 a4 等于（ ） A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8 【答案】C 【解析】由 S5＝ 求出 ，再由等比数列通项公式求出 即可。 【详解】 由 S5＝ 得： ，又 解得： ，所以 故选：C 【点睛】 本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式及等比数列通项公式，考查计算能力，属于基 础题。 6．已知函数 f（x）＝lnx﹣ ，则 f（x）（ ） A．有极小值，无极大值 B．无极小值有极大值 C．既有极小值，又有极大值 D．既无极小值，又无极大值 【答案】B 【解析】求出 ，对 的正负分析，即可判断函数的极值情况。 【详解】 由题可得： ， 当 时， 当 时， 所以 f（x）在 处取得极大值，无极小值。 故选：B 【点睛】 本题主要考查了利用导数判断极值的方法，属于基础题。 7．在数列{an}中，a1＝3，an+1＝2an﹣1（n∈N），则数列{an}的通项公式为（ ） A．an＝2n+1 B．an＝4n﹣1 C．an＝2n+1 D．an＝2n﹣1+2 【答案】C 【解析】构造新的等比数列 ，求出 ，从而求出 【详解】 由 an+1＝2an﹣1 得： ， 所以数列 是以 为首项，公比为 2 的等比数列。 所以 ，所以 故选：C 【点睛】 本题主要考查了转化思想，等比数列的通项公式，考查了构造法，属于基础题。 8．在空间四边形 ABCD 中，向量 ＝（0，2，﹣1）， ＝（﹣1，2，0）， ＝ （0﹣2，0），则直线 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值为（ ） A． B． C．－ D．－ 【答案】A 【解析】求出平面 ABC 的一个法向量 ，再求出 与 夹角的余弦即可。 【详解】 设 是平面 ABC 的一个法向量，则 且 ，即： ，不妨令 ，解得： 所以 与 夹角的余弦为： 所以直线 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值为 。 故选：A 【点睛】 本题主要考查了平面向量法向量的求法及利用向量求直线与平面所成角，考查了转化思 想及计算能力，属于基础题。 9．已知双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线 y2＝8x 的准线分别交于 M，N 两点，A 为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为 2，且△AMN 为正三角形，则 双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线的离心率为 2 求得其渐近线方程，再由抛物线的准线与渐近线方程求 得交点 M,N 坐标，利用△AMN 为正三角形列方程即可求得 ，从而求得双曲线的方程。 【详解】 由双曲线的离心率为 2 可得： ，所以 所以双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为： ， 又抛物线 y2＝8x 的准线方程为： ， 由 得： 或 ，所以 , A 为双曲线的右顶点，且△AMN 为正三角形，则： ，解得： 所以 ， 所以双曲线的方程为 。 故选：B 【点睛】 本题主要考查了双曲线的简单性质及抛物线的简单性质，考查了转化思想及计算能力， 属于中档题。 10．已知 f（x）是定义在 R 上的函数，f′（x）是 f（x）的导函数，且满足 f′（x）+f （x）＜0，设 g（x）＝ex•f（x），若不等式 g（1+t2）＜g（mt）对于任意的实数 t 恒成 立，则实数 m 的取值范围是（ ） A．（﹣∞，0）∪（4，+∞） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2） 【答案】D 【解析】由 f′（x）+f（x）＜0 确定函数 g（x）＝ex•f（x）为单调递减函数，转化不 等式 g（1+t2）＜g（mt）为： 对于任意的实数 t 恒成立，变形成： 对于任意的实数 t 恒成立，利用 即可求得实数 m 的取值范围。 【详解】 由 g（x）＝ex•f（x）得： ， 又 f′（x）+f（x）＜0，所以 ， 故 g（x）＝ex•f（x）在 R 上单调递减， 所以不等式 g（1+t2）＜g（mt）对于任意的实数 t 恒成立可转化成： 对于任意的实数 t 恒成立， 即： 对于任意的实数 t 恒成立， 所以 ，解得： 故选：D 【点睛】 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用单调性解决抽象不等式问题，考查了 转化思想及一元二次不等式恒成立问题，属于中档题。 二、填空题 11．曲线 f（x）＝2x+ 在点（1，3）处的切线方程为____． 【答案】 【解析】求出 ，从而求得切线斜率 ，由直线方程的点斜式即可求得切线方程。 【详解】 由题可得： ，所以切线斜率 ， 所求切线方程为： ，整理得： 【点睛】 本题主要考查了导数的几何意义及直线方程的点斜式，考查计算能力，属于基础题。 12．已知向量 ＝（2，﹣1，3）与 ＝（3，λ， ）平行，则实数 λ 的值为____． 【答案】 【解析】利用向量 ＝（2，﹣1，3）与 ＝（3，λ， ）平行列方程即可求解。 【详解】 因为向量 ＝（2，﹣1，3）与 ＝（3，λ， ）平行， 所以： ，解得： 【点睛】 本题主要考查了空间向量平行的坐标表示及方程思想，属于基础题 13．已知 a，b 均为正数，4 是 2a 和 b 的等比中项，则 a+b 的最小值为_____． 【答案】 【解析】由 4 是 2a 和 b 的等比中项列方程，再利用基本不等式即可求解。 【详解】 因为 4 是 2a 和 b 的等比中项， 所以 ，又 a+b = ， 当且仅当 时，等号成立。 所以 a+b 的最小值为 。 【点睛】 本题主要考查了等比中项概念及基本不等式应用，属于基础题。 14．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝2，S9＝6a8，则数列{ }的前 10 项的和为_____． 【答案】 【 解 析 】 利 用 a1 ＝ 2 ， S9 ＝ 6a8 求 得 ， 从 而 求 得 ， 对 裂 项 得 ： ，从而求得数列{ }的前 10 项的和。 【详解】 由 S9＝6a8 得： ，又 a1＝2 所以： ，所以 所以 ， 所 以 数 列 { } 的 前 10 项 的 和 为 ： = 【点睛】 本题主要考查了等差数列前 n 项和公式及通项公式，考查了裂项求和方法及计算能力， 属于中档题。 15．已知离心率为 的椭圆 （a＞b＞0）的两个焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭 圆上，若 ＝0，且△PF1F2 的面积为 4，则椭圆的方程为_____． 【答案】 【解析】由椭圆离心率为 得： ，由 ＝0 得 为直角三角形，再由 椭圆定义及三角形面积公式、勾股定理列方程组即可求得 ，从而得解。 【详解】 由椭圆 （a＞b＞0）离心率为 可得： ， 又 ，代入上式整理得： ， 由 ＝0 得 为直角三角形，又△PF1F2 的面积为 4， 设 ， ，则 解得： ， 所以椭圆的方程为： 。 【点睛】 本题主要考查了椭圆的定义及简单性质，向量垂直的数量积关系，考查计算能力，属于 中档题。 三、解答题 16．已知复数 z＝（m2+2m）+（m2﹣2m﹣3）i，m∈R（i 为虚数单位）． （Ⅰ）当 m＝1 时，求复数 的值； （Ⅱ）若复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限，求 m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）将 代入，利用复数运算公式计算即可。 （Ⅱ）由复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限列不等式组求解即可。 【详解】 （Ⅰ）当 时， , ∴ . （Ⅱ）∵复数 在复平面内对应的点位于第二象限, ∴ 解得 ， 所以 的取值范围是 . 【点睛】 本题主要考查了复数的运算及复数对应的点知识，考查计算能力，属于基础题。 17．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝ （n∈N），正项等比数列{bn}满足 b1＝ a1，b5＝a6． （Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式； （Ⅱ）设∁n＝an•bn，求数列{∁n}的前 n 项和 Tn． 【答案】（Ⅰ） ， （Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）利用 法直接求 ，再由b1＝a1，b5＝a6 求出 ，从而求得 。 （Ⅱ）利用乘公比错位相减法求解即可。 【详解】 （Ⅰ）当 时 ， ， 当 时， 也适合上式, ∴ . ∴ ， . 设数列 的公比为 ，则 . ∵ ，∴ ， ∴ （Ⅱ）由（1）可知， ， ∴ ①， ② 由①－②得， ∴ . 【点睛】 （1）本题主要考查了赋值法及 法求通项公式，即 ,还考查了等比 数列的通项公式。 （2）利用错位相减法求和，注意相减时项的符号，求和时项数的确定，最后不要忘记 除 1-q，在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步 准确写出“ ”的表达式。 18．如图，已知多面体 ABC﹣A1B1C1 中，AA1，BB1，CC1 均垂直于平面 ABC，AB⊥AC， AA1＝4，CC1＝1，AB＝AC＝BB1＝2． （Ⅰ）求证：A1C⊥平面 ABC1； （Ⅱ）求二面角 B﹣A1B1﹣C1 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出 ， ， 的坐标，利用数量积来确定 , ，从而得证。 （Ⅱ）求得平面 的一个法向量 坐标，再利用数量积求得平面 的一个法向量 坐标，利用向量夹角公式即可求得二面角 B﹣A1B1﹣C1 的余弦值． 【详解】 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， . （Ⅰ）证明： ， ， ∵ ， ， 所以 , . ∵ , ∴ 平面 . （Ⅱ）由题意可知， 平面 ， 平面 ， ∴ 又∵ ， , ∴ 平面 . ∴平面 的一个法向量为 . ∵ ， , 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，取 , 所以平面 的一个法向量为 ∴ . 显然二面角 为锐二面角, ∴二面角 的余弦值为 【点睛】 （1）本题主要考查了线面垂直的判定及向量数量积的应用，向量的坐标运算及向量数 量积的坐标运算。 （2）本小题主要考查了转化思想及向量夹角公式，还考查了平面法向量的求法，考查 计算能力，属于基础题。 19．已知椭圆 C： +y2＝1． （Ⅰ）求 C 的离心率； （Ⅱ）若直线 l：y＝x+m（m 为常数）与 C 交于不同的两点 A 和 B，且 ，其 中 O 为坐标原点，求线段 AB 的长． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）由题可得： ，求出 即可求得离心率。 （Ⅱ）联立直线与椭圆方程，整理，利用 可求得 ，再利用弦长公式求得线 段 AB 的长． 【详解】 （Ⅰ）由题意可知： ， , ∴ , ∴ . （Ⅱ）设 ， 由 , 消去 得 . ∴ . ① 则 ， , . 又∵ . 因为： ,所以 . ∴ 满足①式, ∴ . ∴线段 的长为 . 【点睛】 （1）本小题主要考查了椭圆的简单性质，属于基础题。 （2）考查了直线与椭圆相交知识及方程思想，考查了韦达定理及数量积的坐标表示， 弦长公式，还考查了计算能力，属于中档题。 20．已知函数 f（x）＝ x3﹣ x2+x，a∈R． （Ⅰ）当 a＝1 时，求 f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值； （Ⅱ）若 f（x）在区间[ ，2]上单调递增，求 a 的取值范围； （Ⅲ）当 m＜0 时，试判断函数 g（x）＝ - 其中 f′（x）是 f（x）的导 函数）是否存在零点，并说明理由． 【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ） （Ⅲ）见解析 【解析】（Ⅰ）求出 ，对 的正负判断，从而确定函数的单调性，即可求得函数的 最值。 （Ⅱ）转化成 在区间[ ，2]恒成立，再参变分离，转化成函数最值问题，利用基 本不等式求最值即可。 （Ⅲ）将所求问题化简转化成方程 在 内是否有解，利用导 数说明函数 的单调性，再由 即可判断原函数不存在零点。 【详解】 （Ⅰ）当 时， , , 令 得 或 . 当 x 变化时， ，f(x)的变化情况如下表: x + 0 f(x) 单调递增↗ 极大值 单调递减↘ ∴ , . （Ⅱ） ∵ 在 上是单调递增函数, ∴ 在 上恒成立. 即： . ∵ ， ∴当且仅当 时， 成立. ∴ （Ⅲ）由题意可知， ， 要判断 是否存在零点，只需判断方程 在 内是否有解， 即要判断方程 在 内是否有解. 设 , , 可见，当 时， 在 上恒成立. ∴ 在 上单调递减，在 上单调递减. ∵ , ∴ 在 和 内均无零点。 故函数 g（x）＝ - 无零点 【点睛】 （1）主要考查了利用导数求函数的最值，还考查了转化思想。 （2）考查了导数与函数单调性关系及转化思想，还考查了基本不等式的应用。 （3）考查了导数计算及转化思想，考查了函数零点判断及利用导数判断函数的单调性 知识、计算能力，属于中档题。