安徽省阜阳市第三中学2018-2019学年高二竞培中心下学期第二次调研考试数学（文）试题 11页

阜阳三中2018—2019学年第二学期竞培中心二调考试 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 满分：150分 ‎ 一、单选题 ‎1．已知，，则的元素个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎3．已知实数、满足约束条件，则目标函数的最小值为( ) A． B． C． D．‎ ‎4．在正方体中，E、F分别是AB、的中点，则异面直线、FC所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在边长为1的等边三角形ABC中，点P是边AB上一点，且BP＝2PA，则（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．1‎ ‎6．已知等差数列，，前项和为，，则（ ）‎ A．0 B．1 C．2018 D．2019‎ ‎7．若，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数，若对任意的正数，满足，则的最小值为（ ）‎ A．6 B．8 C．12 D．24‎ ‎9．函数f(X)=的图像大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．如果满足，AB=8，AC=k的三角形ABC有两个，那么实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D．‎ ‎11．如图F1.F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1与C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是（　　）‎ ‎（第11题图）‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎12．定义在上的函数满足，对任意，都有，非零实数，满足，则下列关系式中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13．设向量，向量与向量方向相反，且，则向量的坐标为__________．‎ ‎14．定义在上的函数满足.若当时.,‎ 则当时,=________________.‎ ‎15．若圆上有且仅有三个点到直线的距离等于1，则半径 的值为______．‎ ‎16．已知正三棱锥的底面边长为3，外接球的表面积为，则正三棱锥的体积为________.‎ 三、解答题 ‎17．（本题10分）已知数列中，且（）．‎ ‎（Ⅰ）求，；并证明是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎18．（本题12分）在中，角、、的对边分别为，，，, ‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎19．（本题12分）已知四棱锥中，底面，，，，.‎ ‎（1）当变化时，点到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20．（本题12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家标准新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升为醉酒驾车某高中研究性小组经过反复试验获得，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图：‎ 该函数近似模型如下：,又已知刚好过1小时时测得酒精含量值为毫克百毫升根据上述条件，回答以下问题：‎ 试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？‎ 试计算喝一瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？时间以整小时计算 参考数据：，，，‎ ‎21．（本题12分）已知动圆P恒过定点，且与直线相切．‎ ‎（Ⅰ）求动圆P圆心的轨迹M的方程；‎ ‎（Ⅱ）正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两点C、D在轨迹M上，求正方形的面积．‎ ‎22．已知函数．‎ ‎(1)若，求的单调区间；‎ ‎(2)证明：．‎ ‎阜阳三中2018—2019学年第二学期竞培中心二调考试 数 学 试 卷 一、单选题 CBDDC ABCAB DD 二、填空题 ‎13． 14 15．3 16．或 三、解答题 ‎17．（本题10分）已知数列中，且（）．‎ ‎（Ⅰ）求，；并证明是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ），证明见解析；（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅰ）由题意，可知：‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎①当时，，‎ ‎②当时， ．‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列．(如果没有求首相，就该说明不为零）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），可知：‎ ‎，‎ ‎ ．．‎ ‎ ．‎ ‎ ‎ ‎， ③‎ ‎ ④‎ ‎③-④，可得：‎ ‎ ‎ ‎，‎ 分项求和也可以 ‎18．（本题12分）在中，角、、的对边分别为，，，, ‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由 则 ‎，,所以，则 由 且 ‎ 所以，‎ 则 ‎（2）由 所以，‎ 故 令，则 ，所以 故而,,‎ 当时， 有最大值 且 所以的取值范围是 ‎19．（本题12分）已知四棱锥中，底面，，，，.‎ ‎（1）当变化时，点到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，，知，则，‎ 由面，面得，‎ 由，，面，‎ 则面，则点到平面的距离为一个定值，.‎ ‎（2）设直线与平面所成的角为，‎ 由，可知，‎ 又面，面，故，，‎ 则面，‎ 则点到平面的距离为，‎ 由知点与点到平面的距离相等，‎ 则点到平面的距离为，‎ 由知，‎ 故.‎ ‎20．（本题12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家标准新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升为醉酒驾车某高中研究性小组经过反复试验获得，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图：‎ 该函数近似模型如下：,又已知刚好过1小时时测得酒精含量值为毫克百毫升根据上述条件，回答以下问题：‎ 试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？‎ 试计算喝一瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？时间以整小时计算 参考数据：，，，‎ ‎【答案】（1）喝一瓶啤酒小时血液中的酒精含量达到最大值毫克百毫升；（2）需6个小时后才可以合法驾车。‎ ‎【详解】‎ 解：由图可知，当函数取得最大值时，；‎ 此时，‎ 又，‎ 所以，解得；‎ 所以，由二次函数的性质可知，‎ 当时，函数取得最大值为，‎ 故喝一瓶啤酒小时血液中的酒精含量达到最大值毫克百毫升；‎ 由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克百毫升时可以驾车，此时 ‎；此处也可以求出函数在（0,2）上的值域再说明更好。‎ 由，得，‎ 两边取自然对数，得，‎ 即，‎ 所以；‎ 故喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车 ‎21．（本题12分）已知动圆P恒过定点，且与直线相切．‎ ‎（Ⅰ）求动圆P圆心的轨迹M的方程；‎ ‎（Ⅱ）正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两点C、D在轨迹M上，求正方形的面积．‎ ‎【答案】（1） ；（2）或 ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得动圆的圆心到点的距离与它到直线的距离相等，‎ 所以圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，且，‎ 所以圆心的轨迹方程为．‎ ‎（2）由题意设边所在直线方程为，‎ 由消去整理得，‎ ‎∵直线和抛物线交于两点，‎ ‎∴，解得．‎ 设，，‎ 则.‎ ‎∴．‎ 又直线与直线间的距离为，‎ ‎∵，‎ ‎∴ ，解得或，‎ 经检验和都满足．‎ ‎∴正方形边长或，‎ ‎∴正方形的面积或．‎ ‎22．已知函数．‎ ‎(1)若，求的单调区间；‎ ‎(2)证明：．‎ ‎【答案】（1）增区间，减区间；（2）见解析 ‎【详解】‎ ‎（1）的定义域为，‎ 若，则，，‎ 令，则在上恒成立，‎ 故在上单调递增，‎ 又，‎ 故当时，；当时，‎ 即的增区间为，减区间为。‎ ‎（2），‎ 由（1）可知在上必有唯一零点，设为，则，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴，另外，∴，‎ ‎∴，得证.‎