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- 2023-12-30 发布
2013届高考一轮复习 变化率与导数、导数的计算
一、选择题
1、某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为则在时刻t=40 min的降雨强度为( )
A.20 mm/min B.400 mm/min
C. mm/min D. mm/min
2、若满足f′(1)=2,则f′(-1)等于( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
3、曲线在点(-1,-1)处的切线方程为( )
A.y=2x+1 B.y=2x-1
C.y=-2x-3 D.y=-2x-2
4、已知点P在曲线上为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.)
5、已知的导函数为f′(x),则f′(i)等于(i为虚数单位)( )
A.-1-2i B.-2-2i
C.-2+2i D.2-2i
6、设函数tan其中则导数f′(1)的取值范围是( )
A.[-2,2] B.
C. D.
7、设cos′′(x),…,′N,则等于( )
A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx
8、设f(x)=xlnx,若f′则等于( )
A.e B.e
C. D.ln2
二、填空题
9、函数y=xcosx在处的导数值是 .
10、已知直线x+2y-4=0与抛物线相交于A、B两点,O是坐标原点,在抛物线的弧上,当△PAB面积最大时,P点坐标为 .
11、若曲线lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是 .
12、曲线y=xe在点(0,1)处的切线方程为 .
三、解答题
13、已知函数f(x)=ln为常数),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且l与函数f(x),g(x)图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值.
14、对于三次函数定义:设f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f′(x
)的导数,若f″(x)=0有实数解则称点为函数y=f(x)的”拐点”.现已知请解答下列问题:
(1)求函数f(x)的”拐点”A的坐标;
(2)求证f(x)的图象关于”拐点”A对称.
15、已知函数在与x=1时都取得极值.
(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间;
(2)若对不等式恒成立,求c的取值范围.
以下是答案
一、选择题
1、 D
解析:f′
∴f′选D.
2、B
解析:求导后导函数为奇函数,所以选择B.
3、A
解析:y′||
所以切线方程为y+1=2(x+1),
即为y=2x+1.
4、D
解析:∵y′
∵e∴′<0,
即tan.∴).
5、D
解析:因为f′所以f′(i)i=2-2i.
6、D
解析:∵f′(x)=sincos
∴f′(1)=sincossin.
∵∴.
∴sin.
∴f′.
7、 D
解析:∵cosx)′=-sin(-sinx)′=-coscosx)′=sinx,
sinx)′=cosx,…,由此可知的值周期性重复出现,周期为4,
故-cosx.
8、 B
解析:f′lnx=1+lnx,
由1+ln知e.
二、填空题
9、
解析:y′=cosx-xsinx,当时,y′.
10、 (4,-4)
解析:|AB|为定值,△PAB面积最大,只要P到AB的距离最大,只要点P是抛物线上平行于AB的切线的切点,设P(x,y).由图可知,点P在x轴下方的图象上,
∴.∴y′.
∵∴.
∴x=4,代入得y=-4.
∴P(4,-4).
11、
解析:f′.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线,
∴f′(x)=0有正解,即有正解.
∴.∴.
12、 y=3x+1
解析:y′=ee′|
∴切线方程为y-1=3(x-0).
∴y=3x+1.
三、解答题
13、 解:由f′(x)|故直线l的斜率为1,切点为(1,f(1)),即(1,0),∴l:y=x-1. ①
又∵g′(x)=x=1,切点为.
∴l:
即. ②
比较①和②的系数得
∴.
14、 解:(1)f′″(x)=6x-6.
令f″(x)=6x-6=0,得x=1,
2.
∴拐点A坐标为(1,-2).
(2)证明:设是y=f(x)图象上任意一点,则
因为关于A(1,-2)的对称点为P′把P′代入y=f(x)得
左边
右边=2=.
∴左边=右边.
∴P′在y=f(x)图象上.
∴y=f(x)的图象关于点A对称.
15、 解:′2ax+b.
由f′′(1)=3+2a+b=0,得.
所以f′2)(x-1).
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
所以函数f(x)的递增区间是与递减区间是;
(2)由(1)可知当时为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,
要使恒成立,则只需要c.
解之,得c<-1或c>2.