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- 2023-12-30 发布
吉林省实验中学2012—2013学年度下学期期末考试
高二数学理试题
一、选择题（每题5分，共60分）
1．若集合，集合= （ ）
A． B．
C． D．
2．下列各函数中值域为的是 （ ）
A． B． C． D．
3．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为( )
2
2
正视图
侧视图
俯视图
A．2,2
B．2,2
C．4,2
D．2,4
4．已知实数,则“”是 “”的 ( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
否
开始
结束
输出
是
输入
5．运行右图所示的程序框图．若输入，则输出的值为 ( )
A． B．
C． D．
6.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为
24，则这个长方体的一条对角线长为 （ ）
A． B． C．5 D．6
7.若直线经过圆的圆心，则的最小值是 （ ）
A． B． C．4 D．2
8．在△ABC中，，则sinA= （ ）
A． B． C． D．
9. 定义在R上的函数是偶函数，且，若时，，则的值为 （ ）
A．-1 B．3 C．1 D．-3
10. △ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3＋4＋5＝，则△AOB的面积＝ （ ）
A． B． C.1 D．
11．已知A，B，C，D，E是函数＞0，0＜＜一个周期内的图像上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则的值为 ( )
A. B.
C. D.
12．已知为上的可导函数，当时，，则关于x的函数的零点个数为 （ ）
A.1 B.2 C.0 D.0或 2
20 30 40 50 60 70
岁
频率/组距
第15题图
0.0350
0.0125
二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知为等差数列，若，则的值为
14.为了“城市品位、方便出行、促进发展”，长春市拟修建地铁，市某部门问卷调查了n个市民,其中赞成修建地铁的市民占80％，在
赞成修建地铁的市民中又按年龄分组，得样本频率分布直方图如图，其中年龄在岁的有400人，岁的有m人，则n= , m=
15.已知，，，和的夹角是锐角，则实数的取值范围是 .
16.已知函数，若时，不等式 恒成立，则实数t的取值范围是 .
三解答题
17．（12分）已知关于的一元二次方程．
（Ⅰ）若是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；
（Ⅱ）若，求方程没有实根的概率．
18. （满分12分）已知圆C：。（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P()向该圆引一条切线，切点为M且有（O为原点），求使取得最小值时点P的坐标。
19．（满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．
（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面SAC；
（3）当二面角E-BD-C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．
20．(满分12分）数列：满足
(Ⅰ) 设，求证是等比数列；(Ⅱ) 求数列的通项公式;
（Ⅲ）设,数列的前项和为,求证:
21．已知函数
（1）求的单调区间；
（2）求证：
选考题（本小题满分10分）（请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑）
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，内接于⊙O，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D。 （I）求证：
（II）若，⊙O的半径为1，且P为弧的中点，求AD的长。
23.本题满分10分）选修4—4：坐标与参数方程
已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）
（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆上的点到直线的距离的最小值
24．选修4—5：不等式选讲
已知函数
（1）当a=0时，解不等式
（2）若存在成立，求实数a的取值范围。
参考答案
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
D
B
B
C
C
A
C
D
B
C
二．填空题（本大题共20小题，每小题5分，共计20分）
13． 14. n= 4000 , m= 1120
15. 且 16. _____．
三、解答题
17.(满分12分)
解：（Ⅰ）基本事件共有36个，方程有实根，
方程有根等价于Δ≥0， (a－2)2＋b2≥16.
设“方程有两个实根”为事件，则事件包含的基本事件共36-14=22个，
故所求的概率为； ……………6分
（Ⅱ）试验的全部结果构成区域，其面积为
设“方程无实根”为事件，则构成事件的区域为
，
其面积为
故所求的概率为 ………………12分
18. (满分12分)
解: ( 1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得
＝，即k＝2±，从而切线方程为y＝(2±)x . .……………………3分
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，
由直线与圆相切得x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.∴所求切线的方程为y＝(2±)x
x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 .……………………6分
(2)由|PO|＝|PM|得，x12＋y12＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0. .…………8分
即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，|PM|取最小值时即
|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x＋y＝0. .……………………10分
解方程组得P点坐标为 ..……………………12分
19. (满分12分)
证明：（Ⅰ）连接，由条件可得∥．
因为平面，平面，
所以∥平面．
（Ⅱ）法一：证明：由已知可得，,是中点，
所以，
又因为四边形是正方形，所以．
因为，所以．
又因为，所以平面平面． -
（Ⅱ）法二：证明：由（Ⅰ）知，．
建立如图所示的空间直角坐标系．
设四棱锥的底面边长为2，
则，，，
，，．
所以，．
设（），由已知可求得．
所以，．
设平面法向量为，
则 即
令，得．
易知是平面的法向量．
因为，
所以，所以平面平面． -------------------8分
（Ⅲ）解：设（），由（Ⅱ）可知，
平面法向量为．
因为，
所以是平面的一个法向量．
由已知二面角的大小为．
所以，
所以，解得．
所以点是的中点． ----------------12分
20．(满分12分)
解：(Ⅰ)由得 ……………………2分
，即 ， ……………………4分
是以２为公比的等比数列 ……………………5分
(Ⅱ) 又
即 ， ……………………6分
故 ……………………7分
（Ⅲ） ……………………9分
……………………10分
又 ……………………12分
21.（满分12分）．
解：（1）， ………………1分
…………3分
令上单调递减；
令上单调递增。
故增区间为减区间为（-1，0） ……………………5分
（2） ……………………6分
令
…………7分
令则
令
当在（-1，0）上单调递增；
当上单调递减，
故上单调递减； …………9分
当时，，即，则在（-1，0）上单调递增；当即上单调递减…………11分
故 …………12分
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
23.本题满分10分）选修4—4：坐标与参数方程
解：（1）极点为直角坐标原点O，，
∴，可化为直角坐标方程：x+y-1=0. ……………………5分
(2)将圆的参数方程化为普通方程：，圆心为C（0，-2），
∴点C到直线的距离为，
∴圆上的点到直线距离的最小值为。 ……………………5分
24. 本题满分10分）
解：(1)由|x+1|≥2|x|,得x2+2x+1≥4x2,解得-≤x≤1.
所以不等式的解集是[-,1]. ……………………10分
(2)由题意可知，存在x∈R,使得|x+1|-2|x|≥a.
令φ(x)=
当x＜-1时，φ(x)＜-2；当-1≤x＜0时，-2≤φ(x)＜1；当x≥0时，φ(x)≤1.
综上可得：φ(x)≤1,即a≤1. ……………………10分