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- 2023-12-30 发布
福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中
数学（文）试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.）
1.设集合，，则中元素的个数是（ ）
A． B． C． D．
2.复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3.有个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.下列判断错误的是（ ）
A．若为假命题，则，至少之一为假命题
B．命题“，”的否定是“，”
C．“若且，则”是真命题
D．“若，则”的否命题是假命题
5.已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6.将函数的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（ ）
A． B． C． D．
7.已知是公差不为的等差数列的前项和，且，，，成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
8.若实数，满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9.已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
10.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）
A． B． C． D．
11.已知椭圆：（），左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12.若直角坐标平面内、两点满足：①点、都在函数的图象上；②点、关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点”对”有
（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.已知数列满足：，，,则 ．.
14.在中，，且，，则 ．.
15.已知，，且，则的最小值为 ．.
16.函数，若方程恰有四个不等的实数根，则实数的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知向量，（），若，且的图象上两相邻对称轴间的距离为.
（Ⅰ）求的单调递减区间；
（Ⅱ）设的内角，，的对边分别为，，，且满足，，，求，的值.
18.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了人，他们年龄大点频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：
年龄
频数
支持“生育二胎”
（Ⅰ）由以上统计数据填下面乘
年龄不低于岁的人数
年龄低于岁的人数
合计
列联表，并问是否有的把握认为以岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：
支持
不支持
合计
（Ⅱ）若对年龄在的的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？
参考数据：，.
19.已知直角梯形中，，，，，，为的中点，过作 ，将四边形沿折起使面面.
（1）若为的中点，求证：面；
（2）若，试求多面体体积.
20.定义：在平面内，点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离.在平面直角坐标系中，已知圆：及点，动点到圆的距离与到点的距离相等，记点的轨迹为曲线为.
（Ⅰ）求曲线
的方程；
（Ⅱ）过原点的直线（不与坐标轴重合）与曲线交于不同的两点，，点在曲线上，且，直线与轴交于点，设直线，的斜率分别为，，求.
21.已知函数，（）
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）证明：当时，对于任意，，总有成立，其中是自然对数的底数.
请考生在第22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号上方的方框涂黑.
22.选修 4-1：几何证明选讲
已知点在圆直径的延长线上，切圆于点，分别交，于点，，.
（1）求证：为的平分线；
（2）若，求的值.
23.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，从极点作圆的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线.
（1）求的极坐标方程；
（2）已知曲线的参数方程为（，为参数，且），与交于点，与交于点，且，求的值.
24.选修 4-5：不等式选讲
已知，，均为正实数，且.
（1）证明：；
（2）求证：.
高三数学（文）答案
一、选择题
1-5:ABACA 6-10:ACCBD 11、12：DC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）∵，，
∴
.
∵的图像上两相邻对称轴间的距离为，∴，即.
∴
则.
由，得，，
∴的单调减区间为，
（Ⅱ）由，得，
∵，∴，则，.
由余弦定理得：，即，①
又，②
联立①②解得：，.
18.（Ⅰ）
年龄不低于岁的人数
年龄低于岁的人数
合计
支持
不支持
合计
所以没有的把握认为以岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.
（Ⅱ）年龄在中支持“生育二胎”的人分别为，，，，不支持“生育二胎”的人记为，厄从年龄在的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：，，，，，，，，.
设“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件，
则事件所有可能的结果有，，，，.
∴
所以对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查时，恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为
19.证明：（1）取的中点，连接，，因为，，，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，，面，故 面.
解：（2）因为面面，所以，，两两垂直，连接，所求的几何体分为两部分，四棱锥与三棱锥，
，
，
20.解：（Ⅰ）由点到曲线的距离的定义可知，到圆的距离，所以，所以有，由椭圆定义可得点的轨迹为以、
为焦点的椭圆，从而可求出椭圆的方程；（Ⅱ）设，，则，则直线的斜率为，由可得直线的斜率是，记，设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理用，表示与即可得到结论.
解（Ⅰ）由分析知：点在圆内且不为圆心，故，
所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆，
设椭圆方程为（），则，
所以，故曲线的方程为.
（Ⅱ）设（），，则，则直线的斜率为，又，所以直线的斜率是，记，设置的方程为，由题意知，，由得.∴，
∴，由题意知，，
所以，
∴直线的方程为，令，得，即.
可得.
所以，即.
21.解析：（Ⅰ）函数的定义域为，
当时，当变化时，，的变化情况如下表：
当时，当变化时，，的变化情况如下表：
综上所述，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，在区间上单调递增，；
在区间上单调递减，且，所以当时，.
因为，所以，令，得.
①当时，在区间上恒成立
所以函数在区间上单调递增，所以.
所以对于任意，，仍有.
②当时，由，得；由，得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以.
因为
所以对任意，，总有.
22.（Ⅰ）证明：∵为圆的切线，∴，
又∵为直径，，∴.
又∵，，
∴，
∴为的平分线
（Ⅱ）解：，∴，
又，
∴，
∴
23.解：（Ⅰ）设上任意一点的极坐标为
则点在圆上，故，
所以的极坐标方程为（）
（Ⅱ），两点的极坐标分别为，，
又因为
所以
故，所以或
24.证明：（Ⅰ）∵
∴
又∵
由题中条件知
∴
即
（Ⅱ）∵
同理：，
∴
∴
∴