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- 2023-12-30 发布
成都龙泉第二中学2018届高三下期4月月考试题
数 学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知是实数集，集合，则
A． B． C． D．
2.已知i为虚数单位，复数z满足，则z =
A. B. C. D.
3.若数列的通项公式是，则
A． B． C． D．
4.已知，，，则
A． B．
C． D．
5.已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax＋2y＋2a＝0，其中实数a∈[－1，5]．则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为【来源：全,品…中&高*考+网】
A. B. C. D.
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为
A． B． C． D．
7．在正方体中，为线段的中点，若三棱锥的外接球的体积为，则正方体的棱长为
A． B． C． D．【来源：全,品…中&高*考+网】
8.执行如图所示的程序框图，输出的x的值为
A.4 B.5 C.6 D.7
9.设，则“”是“”的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10．若满足约束条件，则目标函数的最小值为
A．3 B．0 C．－3 D．－5
11．函数(，是常数，，)的部分图象如图所示，为得到函数，只需将函数的图象
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
12．双曲线的左右焦点分别为，，焦距，以右顶点为圆心的圆与直线相切于点，设与交点为，，若点恰为线段的中点，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知圆与抛物线的准线相切，则____．
14．在矩形中，，，为的中点，若为该矩形内（含边界）任意一点，则的最大值为__________．
15．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是________.
16．设函数其中．
① 若，则_________；
② 若函数有两个零点，则的取值范围是_____________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若（）且，求的面积．
18.（本小题满分10分）
某幼儿园有教师30人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：
本科
研究生
合计
35岁以下
5
2
7
35～50岁(含35岁
和50岁)
17
3
20
50岁以上
2
1
3
(1)从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；
(2)从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率.
19.（本小题满分10分）
如图所示,直线PA为圆O的切线,切点为A,直径BC丄OP,连结AB交PO于点D.
(1)证明:PA=PD;
(2)证明:PAAC=ADOC.
20.（本小题满分10分）
设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)是圆:的一条直径，若椭圆经过，两点，求
椭圆的方程．
21.（本小题满分12分）
已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）当时，证明：；
（2）讨论函数极值点的个数.
【来源：全,品…中&高*考+网】
请考生在22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于A，B两点．
（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；
（Ⅱ）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数．
(Ⅰ)求证：当时，不等式成立．
(Ⅱ)关于的不等式在R上恒成立，求实数的最大值．
成都龙泉第二中学2018届高三下期4月月考试题
数 学（文科）参考答案
1—5 DAABD 6—10 DCCBC 11—12 AC
13． 14. 15. 195 16．；（2分） （3分）【来源：全,品…中&高*考+网】
17.【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由得：，
∴，∴，
∴，∴．·······6分
（2）由（），得，
由正弦定理得，∴．
根据正弦定理可得，解得，
∴．····12分
18.解 (1)设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A，
由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.则P(A)＝＝.
即从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为.
(2)设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A1，A2，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为B1，B2，B3，50岁以上具有研究生学历的教师为C，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C)，(B2，B3)，(B2，C)，(B3，C)，
记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D，则D中的结果共有12个，它们是：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1， C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，C)，(B2，C)，(B2，C)，故所求概率为P(D)＝＝.
即从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为.
19.证明：(1)直线PA为圆O的切线,切点为A,
,BC为圆O的直径,
,,,
,,.
(2)连接,由(1)得
,,
,.
【解析】本题主要考查弦切角定理、三角形相似、圆的性质,考查了逻辑思维能力.(1)由弦切定理,结合直角三角形的性质证明,即可证明结论;(2)由(1),易得,则结论易得.
20.（I）点在线段上，满足
，，
椭圆的离心率为
(II)解：由（I）知，椭圆的方程为. (1)
依题意，圆心是线段的中点，且.
易知，不与轴垂直，设其直线方程为，
代入(1)得
设则,
由，得解得.从而.
于是
由，得，解得
故椭圆的方程为.
21.解：（1）依题意，，故原不等式可化为，因为，只要证，
记，则
当时，，单调递减；当时，，单调递增
所以，即，原不等式成立.
（2）
记
（ⅰ）当时，，在上单调递增，，
所以存在唯一，且当时，；当
①若，即时，对任意，此时在上单调递增，无极值点
②若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；此时有一个极大值点和一个极小值点
③若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在
上单调递减：此时有一个极大值点和一个极小值点.
（ⅱ）当时，，所以，显然在单调递减；在上
单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点
（ⅲ）当时，
由（1）可知，对任意，从而
而对任意，所以对任意
此时令，得；令，得
所以在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点
（ⅳ）当时，由（1）可知，对任意，当且仅当时取等号
此时令，得；令得
所以在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点
综上可得：
①当或时，有两个极值点；【来源：全,品…中&高*考+网】
②当时，无极值点；
③当时，有一个极值点.
22.解：（Ⅰ）曲线的参数方程：（为参数），曲线的普通方程为．………………2分
当时，直线的方程为，…………3分
代入，可得，∴.
∴；……………………5分
（Ⅱ）直线参数方程代入，
得．………………7分
设对应的参数为，
∴．…………10分
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
23.解析：(1)证明：由 2分
得函数的最小值为3，从而，所以成立. 5分
(2) 由绝对值的性质得， 7分
所以最小值为，从而， 8分
解得， 9分
因此的最大值为. 10分