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- 2023-12-29 发布
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线在轴上的截距是（ ）
A． B． C． D．
2.抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3.若直线与直线互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
4.命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C. 若且，则 D．若或，则
5.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C.若，则或 D．若，则
6.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线：的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C. D．
7.在正棱柱中，是的中点，，则异面直线与
所成的角为（ ）
A． B． C. D．
8.圆心在抛物线上，且与轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9. 是椭圆上一点，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ）
A．3 B．2 C. D．
10.如图，四边形中，，将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论：
①；②与平面所成的角为；③；④四面体的体积为.其中正确的有（ ）
A．1个 B．3个 C. 2个 D．4个
11.已知是单位圆上的两点（为圆心），，点是线段上不与重合的动点，是圆的一条直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.命题“对，都有”的否定为 ．
14.一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
15.已知圆：与直线：相切，则动点在直角坐标平面内的轨迹方程为 ．
16.已知直线：，抛物线上一动点到轴和直线的距离之和的最小值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）设命题：实数满足，其中，命题：实数满足.
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）已知方程
（1）若此方程表示圆，求实数的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线相交于两点，且坐标原点在以
为直径的圆的外部，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到的距离为2，且的横坐标为1.
（1）求抛物线的方程；
（2）若点，是抛物线上一动点，求的最小值.
20.（本小题满分12分）在直棱柱中，底面是边长为2的正三角形，是棱的中点，且.
（1）证明：平面；
（2）棱上是否存在一点，使平面，若存在，求出的长，若不存在，说明理由.
21. （本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为2的正三角形，，为的中点，为棱上的一动点.
（1）求证：平面；
（2）当时，二面角的余弦值为，求实数的值.
20. （本小题满分12分）已知椭圆:的一个焦点是，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，设点关于
轴的对称点为
（i）求证：直线过轴上一定点，并求此定点坐标；
（ii）求面积的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:CBCDD 6-10:BCDBA 11、12：AD
二、填空题
13. ，使得 14. 15. 16. 1
三、解答题
17.（1）当时，：，：，
又为真，所以真真，
由得，所以实数的取值范围为.
（2）因为是的充分不必要条件，又：，：，所以解得，
所以实数的取值范围为
18.（1）∵表示圆，
设，，则，，于是，
∵在以为直径的圆的外部，∴，∴，
∴，∴，综上知，.
19.解：（1）设抛物线方程为：，由其定义知，又，所以，.
（2）设，，因为，
（i）当即时，的值最小为；
（ii）当即，时，的值最小为；
20.解：（1）连结交于点，连结，
∵四边形为矩形，∴为的中点，又∵是棱的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.
（2）作，交于，∵是棱的中点，∴，∴平面，∴，∴平面，此时∽，∴，即，∴，即当时，平面.
21.（1）证明：设为的中点，连接，则，∵，∴四边形为正方形，∵为的中点，∴为的交点，∵，∴，∵，∴
，，在三角形中，，∴，∵，∴平面.
（2）由（1）知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，，
，，设平面的法向量为，则即，令，∴，设平面的法向量为，，解得.
22.解：（1）∵椭圆的一个焦点是，所以半焦距，因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，所以，解得，所以椭圆的标准方程为；
（2）（i）设直线：与联立并消去得：，记
，，，由关于轴的对称点为
，得，根据题设条件设定点为，得，即，所以，即定点.
（ii）由（i）中判别式，解得，可知直线过定点，所以，得，令，记，在上为增函数，所以，得，故面积的取值范围是.