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- 2023-12-29 发布
课时分层训练(五十五) 曲线与方程
(对应学生用书第306页)
A组 基础达标
一、选择题
1．方程x＝所表示的曲线是( )
A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分
C．圆的一部分 D．直线的一部分
B [x＝两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．]
2．(2017·银川模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
D [由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.]
3．已知动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4，则动圆圆心Q的轨迹C的方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．x2＝2y D．x2＝4y
B [设Q(x，y)，因为动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4，
所以＋|x|2＝|AQ|2，
所以|x|2＋22＝(x－2)2＋y2，整理得y2＝4x，
所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2＝4x，故选B.]
4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
【导学号：79140301】
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
D [因为M为AQ垂直平分线上一点，
则|AM|＝|MQ|，
所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为以点C，A为焦点的椭圆，所以a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.]
5．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是( )
A．x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)
B．x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)
D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
A [设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.
由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.
即＝，
点Q(－x，y)，故由·＝1，
得(－x，y)·＝1，
即x2＋3y2＝1.故所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．]
二、填空题
6．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程是__________．
y2＝8x [＝－(－2，y)＝，
＝(x，y)－＝.
∵⊥，∴·＝0，
∴·＝0，即y2＝8x.
∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.]
7．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
－＝1(x＞3) [如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，
|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞3)．]
8．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a＞0)，且满足条件sin C－sin B＝sin A，则动点A的轨迹方程是________.
【导学号：79140302】
－＝1(x＞0且y≠0) [由正弦定理得－＝×，即|AB|－|AC|＝|BC|，故动点A的轨迹是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支(除去顶点)．
即动点A的轨迹方程为－＝1(x＞0且y≠0)．]
三、解答题
9．已知长为1＋的线段AB的两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，P是AB上一点，且＝，求点P的轨迹方程．
[解] 设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，
由已知知＝，
又＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)，
所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)，
得x0＝x，y0＝(1＋)y.
因为|AB|＝1＋，
即x＋y＝(1＋)2，
所以＋[(1＋)y]2＝(1＋)2，化简得＋y2＝1.
即点P的轨迹方程为＋y2＝1.
10．如图882，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于M.若＝λ.
图882
(1)求N点的轨迹方程；
(2)当N点的轨迹为圆时，求λ的值．
[解] (1)设点P，点N的坐标分别为P(x1，y1)，
N(x，y)，则M的坐标为(x1,0)，且x＝x1，
∴＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，
＝(x1－x，－y)＝(0，－y)，
由＝λ得(0，y－y1)＝λ(0，－y)．
∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.
∵P(x1，y1)在椭圆＋y2＝1上，
则＋y＝1，∴＋(1＋λ)2y2＝1，
故＋(1＋λ)2y2＝1即为所求的N点的轨迹方程．
(2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝，
解得λ＝－或λ＝－.
∴当λ＝－或λ＝－时，
N点的轨迹是圆．
B组 能力提升
11．(2017·湖南东部六校联考)已知两定点A(0，－2)，B(0,2)，点P在椭圆＋＝1上，且满足||－||＝2，则·为( )
A．－12 B．12
C．－9 D．9
D [由||－||＝2，可得点P(x，y)的轨迹是以两定点A，B为焦点的双曲线的上支，且2a＝2，c＝2，∴b＝.∴点P的轨迹方程为y2－＝1(y≥1)．
由解得∴·＝(x，y＋2)·(x，y－2)＝x2＋y2－4＝9＋4－4＝9.]
12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________.
【导学号：79140303】
y＝2x－2 [设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.]
13．(2016·全国卷Ⅰ选编)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值；
(2)求点E的轨迹方程，并求它的离心率．
[解] (1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4.
(2)由圆A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．
又B(1,0)
因此|AB|＝2，则|EA|＋|EB|＝4>|AB|.
由椭圆定义，知点E的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x轴的交点)，
所以a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3.
所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
故曲线方程的离心率e＝＝.