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- 2023-12-29 发布
2019学年高二数学下学期期末考试试题
一、单选题
1．已知函数（是自然对数底数），方程有四个实数根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2．已知定义在上的函数，若有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3．已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线的对称轴与准线交于点，为抛物线上的动点，，当最小时，点恰好在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的长轴长为（ ）
A. B. C. D.
4．已知，则的最小值等于
A. B. C. D.
5．设函数，，若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6．设是奇函数的导函数, ,当时, 则使得成立的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7．若函数,则下列不等式正确的是（ ）
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A. B.
C. D.
8．已知，且，有且仅有一个整数解，则正数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值是( )
A. B. 1 C. 2 D.
10．已知函数是函数的导函数，（其中为自然对数的底数），对任意实数，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
11．已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，则的零点的个数为（ ）
A. B. C. D.
12．若，函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
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13．中，是边上一点，，，且与面积之比为，则__________．
14．已知函数在其定义域上不单调，则的取值范围是__________．
15．已知定义域为R的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为_____．
16．如果一个正四面体与正方体的体积比是，则其表面积（各面面积之和）之比___________________．
三、解答题
17．已知函数
(Ⅰ)当时,求的单调区间;
(Ⅱ)设，若,使得成立,求的取值范围
18．椭圆 ，其右焦点为,点在椭圆上,直线的方程为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若过椭圆左焦点的直线(不过点)交椭圆于两点,直线和直线相交于点,记，，的斜率分别为，，求证:
19．已知函数在点处的切线方程是.
(1)求的值及函数的最大值；
(2)若实数满足.
(i)证明：；
(ii)若，证明：.
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参考答案
BDDDD CAADB
11．C
12．A
13．.
14．
15．
16．.
17．（1）的单调减区间为，的单调增区间为；（2）的取值范围.
（Ⅰ）由题意知定义域为
，
令，得
当时，则，单调递减
当时，则，单调递增
综上可得：的单调减区间为
的单调增区间为
（Ⅱ）由，得
令，则
当时，，单调递减
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当时，，单调递增
，即.
故
令，
，
令，得，
时，，单调递减
当时，，单调递增
故的取值范围
18．(1)椭圆方程为;(2)见解析.
(1)由题意知，， ①
把点代入椭圆方程得，
②
①代入②得，
，
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故椭圆方程为
（2）设的斜率为，易知
则直线的方程为，设，
由得，
，，
，，
又 三点共线
即
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又
19．(1)；0.
(2) （ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
（Ⅰ），
由题意有，解得．
故，，
，所以在为增函数，在为减函数．
故有当时，．
（Ⅱ）证明：
（ⅰ），
由（Ⅰ）知，所以，即.
又因为（过程略），所以，故.
（ⅱ）法一：
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由（1）知
法二：，
构造函数，，
因为，所以，
即当时，，所以在为增函数，
所以，即，故
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