- 1.73 MB
- 2023-12-28 发布
第
2
讲 分类讨论思想、转化与化归思想
高考定位
分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年必考，一般都在解答题中体现，难度较大
.
1.
在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的
.
当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究
.
其研究的基本方向是
“
分
”
，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种
“
合
—
分
—
合
”
的解决问题的思想，就是分类讨论法
.
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法
.
2.
中学数学中可能引起分类讨论的因素：
(1)
由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等
.
(2)
由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和公式等
.
(3)
由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等
.
(4)
由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等
.
(5)
由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等
.
3.
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法
.
一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题
.
转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性
.
4.
常见的转化与化归的方法
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式
.
常见的转化方法有：
(1)
直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题
.
(2)
换元法
:
运用
“
换元
”
把式子转化为有理式或使整式降幂等
,
把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题
.
(3)
数形结合法：研究原问题中数量关系
(
解析式
)
与空间形式
(
图形
)
关系，通过互相变换获得转化途径
.
(4)
等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的
.
(5)
特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题
.
(6)
构造法：
“
构造
”
一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题
.
(7)
坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径
.
(8)
类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定
.
(9)
参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决
.
(10)
补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合
A
，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集
U
，通过解决全集
U
及补集
∁
U
A
获得原问题的解决，体现了正难则反的原则
.
热点一 分类讨论思想的应用
[
微题型
1]
运用分类讨论思想解决数列问题
【例
1
－
1
】
求和：
1
＋
2
x
＋
3
x
2
＋
…
＋
nx
n
－
1
.
探究提高
利用等比数列的前
n
项和公式时，需要分公比
q
＝
1
和
q
≠
1
两种情况进行讨论，这是由等比数列的前
n
项和公式决定的
.
一般地，在应用带有限制条件的公式时要小心，根据题目条件确定是否进行分类讨论
.
[
微题型
2]
运用分类讨论思想解决导数中的参数问题
探究提高
分类讨论思想在解决导数中的参数问题时的常见类型：
1.
含参数的函数的单调性问题：对于含参数的不等式，应注意分类讨论的原因、标准、顺序
.
如一元二次不等式，应按
“
开口方向
→
相应方程有无实根
→
根的大小
”
进行讨论
.
2.
含参数的函数的极值
(
最值
)
问题：常在以下情况下需要分类讨论：
①
导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；
②
导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；
③
端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；
④
参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论
.
3.
含参数的函数的零点个数问题：常需要根据参数与极值的大小关系分类讨论
.
[
微题型
3]
运用分类讨论思想解决圆锥曲线中的参数问题
探究提高
与圆锥曲线有关的参数问题中应用分类讨论思想的常见类型：
1.
判断曲线的类型：判断曲线的类型，常依据二元方程对其参数进行分类讨论，分类标准一般考虑二次项系数的正负、大小关系
.
2.
参数方程、不等式的求解：如求离心率、渐近线方程时对圆锥曲线焦点位置的讨论，或者对方程系数的讨论，或者求解过程中分母是否为
0
的讨论
.
3.
直线与圆锥曲线位置关系的判定：对于含参数的直线与圆锥曲线位置关系问题的求解，如对直线斜率存在与否的讨论、消元后二次项系数是否为
0
的讨论，判别式与
0
的大小关系的讨论等
.
热点二 转化与化归思想的应用
[
微题型
1]
特殊与一般的转化
答案
2 016
探究提高
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单
.
特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果
.
[
微题型
2]
常量与变量的转化
【例
2
－
2
】
对任意的
|
m
|
≤
2
，函数
f
(
x
)
＝
mx
2
－
2
x
＋
1
－
m
恒为负，则
x
的取值范围为
________.
探究提高
在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数
(
或参数
)
，将其看做是
“
主元
”
，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的
.
[
微题型
3]
换元转化问题
探究提高
换元法的特点是通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把陌生的形式转变为熟悉的形式
.
高中数学中主要换元法有整体换元、三角换元、对称换元、均值换元等等
.
换元法应用广泛，如解方程、解不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的通项与和等，在解析几何中也有广泛的应用
.
解题过程中要注意换元后新变量的取值范围
.
1.
分类讨论思想的本质是
“
化整为零，积零为整
”.
用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机
→
确定分类的标准
→
逐类进行讨论
→
归纳综合结论
→
检验分类是否完备
(
即分类对象彼此交集为空集，并集为全集
).
做到
“
确定对象的全体，明确分类的标准
,
分类不重复、不遗漏
”
的分析讨论
.
常见的分类讨论问题有：
(1)
集合：注意集合中空集
∅
讨论
.
(2)
函数：对数函数或指数函数中的底数
a
，一般应分
a
＞
1
和
0
＜
a
＜
1
的讨论；函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
有时候分
a
＝
0
和
a
≠
0
的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论
.
(3)
数列：由
S
n
求
a
n
分
n
＝
1
和
n
＞
1
的讨论；等比数列中分公比
q
＝
1
和
q
≠
1
的讨论
.
(4)
三角函数：角的象限及函数值范围的讨论
.
(5)
不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论
.
(6)
立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；
(7)
平面解析几何：直线点斜式中
k
分存在和不存在，直线截距式中分
b
＝
0
和
b
≠
0
的讨论
;
轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论
.
(8)
去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等
.
2.
转化与化归思想遵循的原则：
(1)
熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决
.
(2)
简单化原则
:
将复杂问题化归为简单问题
,
通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的
,
或获得某种解题的启示和依据
.
(3)
和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律
.
(4)
正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决
.