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- 2023-12-27 发布
课时分层训练(三十九) 数学归纳法
(对应学生用书第242页)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．
∴n的第一个取值应是3.]
2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )
A．一切正整数命题成立
B．一切正奇数命题成立
C．一切正偶数命题成立
D．以上都不对
B [本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．]
3．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( ) 【导学号：97190218】
A． B．
C． D．
C [由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝.]
4．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式＜k＋1成立，当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1.
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
D [当n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．]
5．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A．n＋1 B．2n
C． D．n2＋n＋1
C [1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．]
二、填空题
6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为________．
(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 [当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，
左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.]
7．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4，猜想an＝________.
[a1＝2，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＋1＝.
由此猜想an是以分子为2，分母是以首项为1，公差为6的等差数列，∴an＝.]
8．凸n多边形有f(n)条对角线．则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)与f(n)的递推关系式为________．
f(n＋1)＝f(n)＋n－1 [f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.]
三、解答题
9．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2).
【导学号：97190219】
[证明] (1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．
(2)假设n＝k时命题成立，即
1＋＋＋…＋<2－.
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－
＝2－命题成立．
由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立．
10．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
(2)证明(1)中的猜想．
[解] (1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝；
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，
∴a4＝.
由此猜想an＝(n∈N*)．
(2)证明 ①当n＝1时，a1＝1，结论成立．
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，
即ak＝，
那么n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，
∴2ak＋1＝2＋ak.
∴ak＋1＝＝＝.
所以当n＝k＋1时，结论成立．
由①②知猜想an＝(n∈N*)成立．
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
11．(2017·昆明诊断)设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，观察上述结果，可推测出一般结论( )
A．f(2n)＞ B．f(n2)≥
C．f(2n)≥ D．以上都不对
C [∵f(22)＞，f(23)＞，f(24)＞，f(25)＞，∴当n≥1时，有f(2n
)≥.]
12．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝__________；当n>4时，f(n)＝__________(用n表示)．
5 (n＋1)(n－2)(n≥3) [f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，
f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)
＝2＋3＋4＋…＋(n－1)
＝(n＋1)(n－2)(n≥3)．]
13．数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．
(1)证明：{xn}是递减数列的充要条件是c＜0；
(2)若0＜c≤，证明数列{xn}是递增数列. 【导学号：97190220】
[证明] (1)充分性：若c＜0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c＜xn，
∴数列{xn}是递减数列．
必要性：若{xn}是递减数列，则x2＜x1，且x1＝0.
又x2＝－x＋x1＋c＝c，∴c＜0.
故{xn}是递减数列的充要条件是c＜0.
(2)若0＜c≤，要证{xn}是递增数列．
即xn＋1－xn＝－x＋c＞0，
即证xn＜对任意n≥1成立．
下面用数学归纳法证明：
当0＜c≤时，xn＜对任意n≥1成立．
①当n＝1时，x1＝0＜≤，结论成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即xk＜.
∵函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间内单调递增，所以xk＋1＝f(xk)＜f()＝，
∴当n＝k＋1时，xk＋1＜成立．
由①，②知，xn＜对任意n≥1，n∈N*成立．
因此，xn＋1＝xn－x＋c＞xn，即{xn}是递增数列．