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- 2023-12-26 发布
合肥市 2019 届高三第一次教学质量检测
数学试题(文科)
(考试时间：120 分钟 满分：150 分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 12A x x ， 10B x x ，则 AB=( ).
A. 1xx B. 11xx C. 2xx D. 21xx
2.设 i 是虚数单位，复数 i 1 2ia 为纯虚数，则实数 a 为( ).
A.-2 B.2 C. 1
2 D. 1
2
3.设双曲线
22
22:1xyC ab( 00ab， )的虚轴长为 4，一条渐近线为 1
2yx ，
则双曲线 C 的方程为( ).
A.
22
116 4
xy B.
22
14 16
xy
C.
22
164 16
xy D.
2
2 14
yx
4.执行右图所示的程序框图，则输出 n 的值为( ).
A.63 B.47 C.23 D.7
5.设向量 3 4a ， ，向量b 与向量 a 方向相反，且 10b ，则向量b 的坐标
为( ).
A. 68
55
， B. 6 8 ， C. 68
55
， D. 6 8，
6.设 30.2a ， 2log 0.3b ， 3log 2c ，则( ).
A. abc B. a c b C. bac D. c a b
7.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从
事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).
注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生.
A.互联网行业从业人员中 90 后占一半以上
B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20%
C.互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多
D.互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多
8.已知 1cos sin 5，则 cos 2 2
=( ).
A. 24
25 B. 4
5 C. 24
25
D. 4
5
9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表
面积为( ).
A. 6 B. 24 C. 48 D. 96
10.已知函数 xxf x x e e，对于实数 ab， ，“ 0ab”是“ 0f a f b”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11.已知过抛物线 2 42yx 焦点 F 的直线与抛物线交于点 A ， B ， 3AF FB ，抛物线的准线l 与 x 轴
交于点 C ， AM l 于点 M ，则四边形 AMCF 的面积为( ).
A.12 3 B.12 C.83 D. 63
12.若关于 x 的方程 0xe ax a 没有实数根，则实数 a 的取值范围是( ).
A. 2 0e ， B. 20 e ， C. 0e ， D. 0 e，
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题、
第 23 题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.设 xy， 满足约束条件
0
0
10
30
x
y
xy
xy
，则 2z x y的取值范围为 .
14.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾
斯基 1915 年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成 4 个小三角形，去
掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.
现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为 .
15.设等差数列 na 满足 2 5a ， 6830aa，则数列 2
1
1na
的前 n 项的和等于 .
16.设 ABC 的内角 A B C， ， 的对边长 a b c， ， 成等比数列， 1cos cos 2A C B ，延长 BC 至 D ，若
2BD ，则 ACD 面积的最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分 12 分)
将函数 sin 2f x x 的图像向左平移
6
个单位后得到函数 gx的图像，设函数 h x f x g x.
(Ⅰ)求函数 hx的单调递增区间；
(Ⅱ)若 1
63g
，求 h 的值.
已知：如图，在四棱锥 P ABCD 中， BCD 为等边三角形， 23BD ， 2PA ，AB AD PB PD ，
120BAD.
(Ⅰ)若点 E 为 PC 的中点，求证： BE ∥平面 PAD ；
(Ⅱ)求四棱锥 P ABCD 的体积.
B
D
P
C
E
A
19.(本小题满分 12 分)
某学校九年级三个班共有学生 140 人.为了了解学生的睡眠情况，现通过分层抽样的方法获得这三个班
部分学生周一至周五睡眠时间的数据(单位：小时)
甲班 30 31 32 32.5 34 35 36；
乙班 30 32 33 35.5 37 39 39.5；
丙班 30 30 31 33.5 39 40.
(Ⅰ)试估算每一个班的学生数；
(Ⅱ)设抽取的这 20 位学生睡眠时间的平均数为 x .若在丙班抽取的 6 名学生中，再随机选取 3 人作进
一步地调查，求选取的这 3 名学生睡眠时间既有多于 x 、又有少于 x 的概率.
20.(本小题满分 12 分)
设椭圆 :E
22
221xy
ab( 0ab)的左、右焦点分别为 12FF， ，过 1F 的直线交椭圆于 A ， B 两点，若椭
圆 E 的离心率为 2
2
， 2ABF 的周长为 46.
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程；
(Ⅱ)设不经过椭圆的中心而平行于弦 AB 的直线交椭圆 E 于点 C ， D ，设弦 AB ， CD 的中点分别为
MN， ，证明： O M N， ， 三点共线.
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 1 1 lnxf x e a x x ( a R e ， 是自然对数的底数).
(Ⅰ)设 g x f x (其中 fx 是 fx的导数)，求 gx的极小值；
(Ⅱ)若对 1x ， ，都有 1fx 成立，求实数 a 的取值范围.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题
目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的方程为 cos
sin
x
y
( 为参数).以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 =2cos.
(Ⅰ)求 1C 、 2C 交点的直角坐标；
(Ⅱ)设点 A 的极坐标为 3
4， ，点 B 是曲线 2C 上的点，求 AOB 面积的最大值.
18.本小题满分 12 分)
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲
设函数 1f x x.
(Ⅰ)若 22f x x，求实数 x 的取值范围；
(Ⅱ)设 g x f x f ax ( 1a )，若 gx的最小值为 1
2
，求 a 的值.
合肥市 2019 届高三第一次教学质量检测数学试题(文科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.
二、 填
空
题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13.[-1，6] 14. 9
16
15. 41
n
n
16. 3
4
三、解答题：
17.(本小题满分 12 分)
(Ⅰ)由已知可得 sin 2 3g x x
，则 sin 2 sin 2 sin 233h x x x x
.
令 2 2 22 3 2k x k k Z ， ，解得 5
12 12k x k k Z ， .
∴函数 hx的单调递增区间为 5 12 12k k k Z
， . …………………………5 分
(Ⅱ)由 1
63g
得 21sin 2 sin 26 3 3 3
，
∴ 1sin 2 33
，即 1
3h . …………………………12 分
18.(本小题满分 12 分)
(Ⅰ)取 CD 的中点为 M ，连结 EM ， BM .
∵ BCD 为等边三角形，∴ BM CD .
∵ 120BAD， AD AB ，
∴ 30ADB，
∴ AD CD ，∴ //BM AD.
又∵ BM 平面 PAD ， AD 平面 PAD ，
∴ BM ∥平面 PAD .
∵ E 为 PC 的中点，M 为 的中点，∴ EM ∥ PD .
又∵ EM 平面 PAD ， PD 平面 PAD ，
∴ EM ∥平面 PAD .
∵ EM BM M ，∴平面 BEM ∥平面 PAD .
又∵ BE 平面 BEM ，∴ BE ∥平面 PAD . …………………………5 分
(Ⅱ)连结 AC 交 BD 于 O ，连结 PO .
∵ CB CD AB AD， ，
∴ AD BD . O 为 的中点.
又∵ 120BAD， 23BD ， PBD ABD≌ ，∴ 1AO PO.
又∵ 2PA ，∴ 2 2 2PA PO OA，∴ PO OA .
又∵ PO BD ，∴ PO ⊥平面 ABD ，即四棱锥 P ABCD 的高为 =1PO ，
∴四棱锥 的体积 21 3 1 4 32 3 2 3 1 13 4 2 3V
.
…………………………12 分
19.(本小题满分 12 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A C D D D C B C A A
(Ⅰ)甲班： 7140 4920(人)，乙班 7140 4920(人)，丙班 6140 4220(人). ……………5 分
(Ⅱ) 34x .
设事件 A “3 名学生睡眠时间既有多于 x 、又有少于 x 的学生”.丙班睡眠时间少于 x 的有 4 人，设
为 1 2 3 4A A A A， ， ， ，多于 x 的有 2 人，设为 12BB， .从这 6 名学生中随机选取 3 人的基本事件共有 20 种，而
不满足条件的基本事件(3 人睡眠时间都低于 x )有 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4, , ,A A A A A A A A A A A A 共 4 种情况，所以满足条件
的基本事件数为 16 种， 16 4() 20 5PA，即在丙班被抽取的 6 名学生中，再随机地选取 3 人作进一步地调查，
选取的 3 人睡眠时间既有多于 x 、又有少于 x 学生的概率为 4
5
.……………………12 分
20.(本小题满分 12 分)
(Ⅰ)由题意知， 4 4 6 6aa， .
又∵ 2
2e ，∴ 3c ， 3b ，
∴椭圆 E 的方程为
22
163
xy. …………………………5 分
(Ⅱ)易知，当直线 AB CD、 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点MN， 在 x 轴上，O M N， ， 三
点共线；
当直线 AB CD， 的斜率存在时，设其斜率为 k ，且设 1 1 2 2 0 0A x y B x y M x y， ， ， ， ， .
联立方程得
22
11
22
22
163
163
xy
xy
相减得
2 2 2 2
1 1 2 2 06 3 6 3
x y x y
，
∴ 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2
6 3 6 3
x x x x y y y yx x y y ， ，
∴ 1 2 1 2
1 2 1 2
3
6
y y y y
x x x x
， 012
1 2 0
3
6
yyy
x x x
，即 1
2OMkk ，
∴ 1
2OMk k .
同理可得 1
2ONk k ，∴ OM ONkk ，所以 O M N， ， 三点共线. ………………………12 分
21.(本小题满分 12 分)
(Ⅰ) 1 1 0xg x f x e a xx
， 1
2
1xg x e x
.
令 1
2
1 0 xx g x e xx
，∴ 1
3
2 0 xxe x
，
∴ gx 在 0 ， 上为增函数， 10g .
∵当 0 1x ， 时， 0gx ；当 1x ， 时， 0gx ，
∴ gx的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为 1 ， ，
∴ 12g x g a 极小 . …………………………5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， fx 在 1 ， 上单调递增，在(0，1)上单调递减，
∴ 12f x f a .
当 2a 时， 0fx ， fx在 1 ， 上单调递增， 11f x f，满足条件；
当 2a 时， 1 2 0fa .
又∵ ln 11ln 1 0ln 1 ln 1
af a e a aa
，∴ 0 1 ln 1xa ， ，使得 0 0fx ，
此时， 01xx ， ， 0fx ； 0 ln 1x x a， ， 0fx ，
∴ fx在 01 x， 上单调递减， 01xx ， ，都有 11f x f，不符合题意.
综上所述，实数 a 的取值范围为 2， . ………………………12 分
22.(本小题满分 10 分)
(Ⅰ) 22
1 :1C x y， 2 : =2cosC ，∴ 2 =2 cos ，∴ 222x y x.
联立方程组得
22
22
1
2
xy
x y x
，解得
1
1
1 2
3
2
x
y
，
2
2
1 2
3
2
x
y
，
∴所求交点的坐标为 13 22
， ， 13 22
， .………………………5 分
(Ⅱ)设 B ， ，则 =2cos，
∴ AOB 的面积 11sin 4 sin 4cos sin2 2 3 3S OA OB AOB
2cos 2 36
∴当 23
12
时，
max 23S . ………………………10 分
23.(本小题满分 10 分)
(Ⅰ) 22f x x，即 1 >2 2xx 1>2 2xx或 1 2 2xx 1
3x或 3x ，
∴实数 x 的取值范围是 1 3
， . ………………………5 分
(Ⅱ)∵ 1a ，∴ 11 a ，∴
1 2 1
111
112
a x x
g x a x x a
a x x a
， ，
， ，
， ，
，
易知函数 gx在 1x a
， 时单调递减，在 1x a
， 时单调递增，
∴ min
111g x g aa
.
∴ 111 2a，解得 2a . ………………………10 分