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- 2023-12-26 发布
第二章 圆锥曲线
一、椭圆
1．平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．
即：．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2．椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长 长轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率
例1椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离是( )．
A．2 B．
C． D．2
答案：D
解析：椭圆方程2x2＋3y2＝12可化为：＋＝1，a2＝6，b2＝4，c2＝6－4＝2，∴2c＝2．
例2已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )．
A．2 B．3
C．4 D．9
答案：B
解析：∵椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4，0)，∴c＝4＝，∴m2＝9，
∴m＝3，选B．
例3已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过点F2的直线交椭圆于点A，B，
若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|＝( )．
A．11 B．10
C．9 D．16
答案：A
解析：由方程知a2＝16，∴2a＝8，由椭圆定义知，|AF1|＋|AF2|＝8，|BF1|＋|BF2|＝8，
∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，∴|AF1|＋|BF1|＝11，故选A．
例4椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为( )．
A． B．
C． D．
答案：A
解析：由题意，得a＝2c，∴e＝＝．
例5与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( )．
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案：B
解析：椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，)，(0，－)，∵b＝2，∴a2＝25，故选B．
例6根据下列条件，求椭圆的标准方程．
（1）经过两点A(0，2)，B(，)；
（2）经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．
解：（1）设所求椭圆的方程为＋＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，
∵椭圆过A(0，2)，B(，)，
∴解得
即所求椭圆方程为x2＋＝1．
（2）∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±)，则可设所求椭圆方程为＋＝1(m＞0)，
又椭圆经过点(2，－3)，则有＋＝1，
解得m＝10或m＝－2(舍去)，
即所求椭圆的方程为＋＝1．
例7如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的
，求椭圆的离心率．
解法一：设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a、b、c，则焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M点的坐标为(c，b)，
则△MF1F2为直角三角形．
在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2．
而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab．
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a．所以＝．
∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝．
解法二：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则M(c，b)．
代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，
所以＝，即e＝．
二、双曲线
1．平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
2．双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长 实轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率
渐近线方程
3．实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
例1双曲线3x2－4y2＝－12的焦点坐标为( )．
A．(±5，0) B．(0，±)
C．(±，0) D．(0，±)
答案：D
解析：双曲线3x2－4y2＝－12化为标准方程为－＝1，∴a2＝3，b2＝4，c2＝a2＋b2＝7
∴c＝，又∵焦点在y轴上，故选D．
例2已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )．
A．－1＜k＜1 B．k＞0
C．k≥0 D．k＞1或k＜－1
答案：A
解析：由题意得(1＋k)(1－k)＞0，∴(k－1)(k＋1)＜0，∴－1＜k＜1．
例3椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是( )．
A．±1 B．1
C．－1 D．不存在
答案：A
解析：验证法：当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3．对双曲线来说，
a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点．
直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2．∴m2＝1，即m＝±1．
例4下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )．
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．－x2＝1 D．y2－＝1
答案：C
解析：由双曲线的焦点在y轴上，排除A、B；对于D，渐近线方程为y＝±x，而对于C，渐近线方程为y＝±2x．故选C．
例5已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|•|PF2|等于( )．
A．2 B．4
C．6 D．8
答案：B
解析：在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|•|PF2|•cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|•|PF2|，
即(2)2＝22＋|PF1|•|PF2|，解得|PF1|•|PF2|＝4．
例6焦点在x轴上的双曲线过点P(4，－3)，且点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．
解：因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
F1(－c，0)，F2(c，0)．
因为双曲线过点P(4，－3)，
所以－＝1． ①
又因为点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，
所以•＝0，即－c2＋25＝0．
所以c2＝25． ②
又c2＝a2＋b2， ③
所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50(舍去)．
所以b2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1．
三、抛物线
1．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．
2．过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB，称为抛物线的“通径”，即|AB|=2p．
3．焦半径公式：
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则．
4．抛物线的几何性质：
标准方程
图形
顶点
对称轴
轴
轴
焦点
准线方程
离心率
范围
例1如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为( )．
A．(1，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(－1，0)
答案：B
解析：因为准线方程为x＝－2＝－，所以焦点为(，0)，即(2，0)．
例2顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2，3)的抛物线方程是( )．
A．y2＝x B．x2＝y
C．y2＝－x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝y
答案：D
解析：∵点(－2，3)在第二象限，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)或x2＝2p′y(p′＞0)，又点(－2，3)在抛物线上，∴p＝，p′＝，∴抛物线方程为y2＝－x或x2＝y．
例3抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )．
A．0 B．
C． D．
答案：A
解析：设M(x0，y0)，则x0＋1＝1，∴x0＝0，∴y0＝0．
例4O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则
△POF的面积为( )．
A．2 B．2
C．2 D．4
答案：C
解析：设P(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3，代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|•|OF|＝2，选A．涉及到抛物线的焦点三角形问题，要考虑焦半径公式．
例5已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )．
A． B．1
C． D．
答案：C
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＋|BF|＝3得，x1＋x2＋＝3，∴x1＋x2＝，∴线段AB的中点到y轴的距离为＝ ．
例6已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）若|AF|＝4，求点A的坐标；
（2）求线段AB长度的最小值．
解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
（1）由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3．代入y2＝4x，解得y1＝±2．
∴点A的坐标为(3，2)或(3，－2)．
（2）当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，得
消去y整理得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
∵直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1、x2，
∴x1＋x2＝2＋ ．
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋＞4．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1，2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
∴|AB|≥4，即线段AB长度的最小值为4．
四、圆锥曲线综合
1．坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数的方法研究几何问题．
2．利用圆锥曲线的定义解题的策略
（1）在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．
3．圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，已知圆锥曲线的性质求其方程．重在考查基础知识，基本思想方法，属于低中档题目，其中对离心率的考查是重点．
4．直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法，直线与圆锥曲线的位置关系主要有：（1）有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；（3）有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算．
5．求轨迹方程的方法常用的有：直接法、定义法、代入法，要注意题目中的限制条件，特别是隐含条件的发掘；直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常用判别式法，要注意有关弦长问题中韦达定理的应用，需特别注意的是，直线平行于抛物线的轴时与抛物线只有一个交点，直线平行于双曲线的渐近线时与双曲线只有一个交点．
例1求过点A(2，0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0相内切的圆的圆心轨迹方程．
解：将圆x2＋4x＋y2－32＝0的方程变形为：(x＋2)2＋y2＝36，其中圆的圆心为B(－2，0)，半径为6．如图，设动圆的圆心M坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C，则|BC|－|MC|＝|BM|．
∵|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6．
又∵动圆过点A，∴|CM|＝|AM|，
则|BM|＋|AM|＝6＞4．
根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点的椭圆，其中，2a＝6，2c＝4，∴a＝3，c＝2．∴b2＝a2－c2＝5．
故所求圆心的轨迹方程为＋＝1．
例2已知椭圆＋＝1 (a＞b＞0)经过点(0，)，离心率为，左右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足＝，求直线l的方程．
解：（1）由题设知解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1．
（2）由题设可知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d＜1得|m|＜．(*)
∴|CD|＝2＝2＝．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
由求根公式可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3．
∴|AB|＝＝．
由＝得＝1，解得m＝±，满足(*)式．
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－．
例3焦点分别为(0，5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．
解法一：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
且a2－b2＝(5)2＝50． ①
由，消去y得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0．
∵＝，∴＝，
即a2＝3b2． ②，
此时Δ＞0．
由①②得a2＝75，b2＝25，∴椭圆的方程为＋＝1．
解法二：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
直线y＝3x－2与椭圆交于A、B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①－②得＝－
即＝ ．
∵kAB＝3，AB中点为(x0，y0)，x0＝，y0＝－，
∴3＝＝，即a2＝3b2．
又a2－b2＝(5)2＝50，∴a2＝75，b2＝25．
∴椭圆方程为＋＝1．
点评
关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：
（1）联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算．
（2）利用“点差法”求解，即若椭圆方程为＋＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)、
B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x0，y0)，则
由①－②得a2(y－y)＋b2(x－x)＝0，
∴＝－•＝－•．
这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．
本章总结：