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- 2023-12-24 发布
2017-2018学年河南省西华县第一高级中学高二上学期期末选拔考试数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
3．下列命题：
（1）函数y=+x（x＜0）的值域是（﹣∞，﹣2]；
（2）函数y=x2+2+最小值是2；
（3）若a，b同号且a≠b，则+≥2．
其中正确的命题是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（1）（3）
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8=8，S8=36，则数列{}的前100项和为（ ）
A． B． C． D．
5．给出如下四个命题：
①命题p：∃x0∈R，x+x0﹣1＜0，则非p：∀x∉R，x2+x﹣1≥0；
②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；
③四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc；
④在△ABC中，“A＞45°”是“sinA＞”的充分不必要条件
其中正确的命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在△ABC中，已知sinAcosA=sinBcosB，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7．焦点为渐近线方程为的双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
8．已知x，y满足不等式组若当且仅当时，z=ax+y（a＞0）取得最大值，则a的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，+∞） C．（0，） D．（，+∞）
9．已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（ ）
A．18 B．21 C．24 D．15
10．若数列，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6的最大值是（）
A． 10 B． 100 C． 200 D． 400
11．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）
A． B． C． D．
12．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=AA1=2，
∠ACB=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，当二面
角C1－AA1－B为45°时，直线EF和BC1所成的角为（ ）
A．45° B．60°
C．90° D．120°
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.
13．已知数列的前n项和公式为，则a8=___ ．
14．已知实数，m，18成等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为 ．
15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 ．
16．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17． (本小题满分10分)已知实数a满足a＞0且a≠1．命题P：函数y=loga（x+1）在（0，+∞）内单调递减；命题Q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，求a的取值范围．
18． (本小题满分12分)在锐角△ABC中，角A，B， C的对边分别为a，b，c，且a=2csinA．
（Ⅰ）确定角C的大小；
（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．
19． (本小题满分12分)本小题满分12分)如图，四棱锥的底面是正方形，，，点是
F
B
E
P
D
C
A
的中点，作交于点.
(Ⅰ)求证：∥平面；
(Ⅱ)求二面角的大小.
20． (本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn=﹣n2+2kn（k∈N+），且Sn的最大值为4．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和．
21． (本小题满分12分)投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入一前n年的总支出一投资额）．
（1）该厂从第几年开始盈利？
（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以10万元出售该厂，问哪种方案更合算？
22． (本小题满分12分)已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．B 2． A． 3． D．4．A．5． B 6．D 7．B
8．解：由z=ax+y（a＞0）得y=﹣ax+z（a＞0）
直线y=﹣ax+z（a＞0）是斜率为﹣a＜0，y轴上的截距为z的直线，要使（3，0）是目标函数z=ax+y（a＞0）取最大值的唯一的最优解，则满足﹣a＜kAB=﹣，解得a＞．故选：D．
9．解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，∵sinA=，∴A=60°或120°．若A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°．cosA=
===﹣．∴c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7．
∴这个三角形的周长=3+5+7=15．故选D．
10．解：由已知数列为调和数列可得bn+1﹣bn=d（d为常数）
∴{bn}为等差数列，由等差数列的性质可得，b1+b2+…+b9=9b5=90，∴b4+b6=2b5=20，又bn＞0，
∴．故选B
11． 解：如图所示，
在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，
设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选B．
12．C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.
13．125
14解：实数，m，18成等比数列，可得m2=×18=9，解得m=±3，
当m=3时， +y2=1，a=，b=1，c==，即有e==；当m=﹣3时，y2﹣=1，a=1，b=，c==2，即有e==2．故答案为：或2．
15．解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，不符合题意．故答案为：丙．
16．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17解：先看命题P
∵函数y=loga（x+1）在（0，+∞）内单调递减，a＞0，a≠1，
∴命题P为真时⇔0＜a＜1…（2分）
再看命题Q
当命题Q为真时，二次函数对应的一元二次方程根的判别式满足
△=（2a﹣3）2﹣4＞0⇒或…（4分）
由“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，知P、Q有且只有一个正确．…（5分）
（1）当P正确且Q不正确⇒…（8分）
（2）当P不正确且Q正确，⇒
综上所述，a取值范围是…（10分）
18．解：（1）由及正弦定理得：，
∵sinA≠0，∴在锐角△ABC中，．…………（6分）
（2）∵，，由面积公式得，即ab=6①
由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=7②
由②变形得（a+b）2=25，故a+b=5．…………（12分_
C
D
B
P
A
E
F
19．(Ⅰ)证明：如图建立空间直角坐标系设.
则
,，即
，而且，
故. …………………… 4分
(Ⅱ)解：法一：依题意得，,又
又. ………………… 8分
，故是二面角的平面角.设，则. ，，.
,,
…10分
点.又点，.
故，，
即二面角的大小为. ……………… 12分
法二：直接求出平面PDB和平面PBC的法向量求解更简单。
20．解：（1）由条件知时，Sn有最大值4，所以﹣k2+2k•k=4k=2，k=﹣2（舍去） 由条件知当n=1时，a1=S1=3
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=5﹣2n经验证n=1时也符合an=5﹣2n
故数列{an}的通项公式为an=5﹣2n（n∈N+）…………（5分）
（2）由（1）知设数列{bn}的前项和为Tn
，
，
两式相减得=
所以， …………（12分）
21．解：（1）由题意，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，用g（n）表示前n年的总支出，
∴g（n）=12n+×4=2n2+10n（n∈N*）…………（2分）
∵f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额
∴f（n）=50n﹣（2n2+10n）﹣72=﹣2n2+40n﹣72．…………（4分）
由f（n）＞0，即﹣2n2+40n﹣72＞0，解得2＜n＜18．…由n∈N*知，从第三年开始盈利．
…………（6分）
（2）方案①：年平均纯利润为=40﹣2（n+）≤16，当且仅当n=6时等号成立．
故方案①共获利6×16+48=144（万元），此时n=6．…………（9分）
方案②：f（n）=﹣2（n﹣10）2+128．
当n=10时，[f（n）]max=128．故方案②共获利128+10=138（万元）．比较两种方案，选择方案①更合算．…………（12分）
22．解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，
解得：a2=3，b=1，∴椭圆的方程为．…………（4分）
（2）假设存在这样的值．
，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，
设C（x1，y1），D（x2，y2），则
而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），
当且仅当CE⊥DE时，则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③
将②代入③整理得k=，
经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．……… 12分