2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)
专题76不等式选讲
最新考纲
1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b∈R)．
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.
基础知识融会贯通
1．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|
a的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|a
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
2．含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
3．不等式证明的方法
(1)比较法
①作差比较法
知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明a－b>0
即可，这种方法称为作差比较法．
②作商比较法
由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为作商比较法．
(2)综合法
从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法．
(3)分析法
从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．
重点难点突破
【题型一】绝对值不等式的解法
【典型例题】
已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+a|，g（x）＝x+2．
（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）设，且当，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|x﹣1|﹣x﹣2＜0，
（i）当x时，不等式化为﹣（2x﹣1）﹣（x﹣1）﹣x﹣2＜0，解得0＜x．
（ii）当x≤1时，不等式化为2x﹣1﹣（x﹣1）﹣x﹣2＜0，解得x≤1，
（iii）当x＞1时，不等式化为2x﹣1+x﹣1﹣x﹣2＜0，解得1＜x＜2
综上，原不等式的解集为（0，2）．
（2）由﹣a≤x，得﹣2a≤2x＜1，﹣2a﹣1≤2x﹣1＜0，
又0≤x+aa，
则f（x）＝﹣（2x﹣1）+x+a＝﹣x+a+1，
∴不等式f（x）≤g（x）化为﹣x+a+1≤x+2，
得a≤2x+1对x∈[﹣a，）都成立，
故a≤﹣2a+1，即a，
又a，故a的取值范围是（，]．
【再练一题】
求不等式4﹣2|x+2|≤|x﹣1|的解集．
【解答】解：①当x≤﹣2时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x，此时x；
②当﹣2＜x＜1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x＜1；
③当x≥1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤x﹣1，解得x，此时x≥1．
综上，原不等式的解集为（﹣∞，]∪[﹣1，+∞）．
思维升华 解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．
(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
【题型二】利用绝对值不等式求最值
【典型例题】
已知函数f（x）＝|x+1|，g（x）＝2|x|+a．
（1）当a＝﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；
（2）若存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）a＝﹣1时，由f（x）≤g（x）得，|x+1|≤2|x|﹣1；
x≤﹣1时，﹣x﹣1≤﹣2x﹣1，解得：x≤﹣1；
﹣1＜x≤0时，x+1≤﹣2x﹣1，解得：﹣1＜x；
x＞0时，x+1≤2x﹣1，解得：x≥2；
∴不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x，或x≥2}；
（2）存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），即存在x0∈R，使得|x0+1|≤|x0|；
即存在x0∈R，使得|x0+1|﹣|x0|；
设h（x）＝|x+1|﹣|x|，则h（x）的最小值为﹣1；
∴1；
即a≥﹣2；
∴实数a的取值范围为：[﹣2，﹣∞）．
【再练一题】
已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，
（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）≤9可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9，
故，或，或；…
解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1； …
不等式的解集为[﹣2，4]；…
（Ⅱ）易知B＝（0，3）；…
所以B⊆A，又|2x﹣4|+|x+1|＜2x+a在x∈（0，3）恒成立；…
⇒|2x﹣4|＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…
⇒﹣x﹣a+1＜2x﹣4＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…
故
思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种
(1)利用绝对值的几何意义．
(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.
(3)利用零点分区间法．
【题型三】绝对值不等式的综合应用
【典型例题】
已知不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R．
（1）求a的取值范围；
（2）当a取得最小值时，请画出f（x）＝x+|x﹣a|的图象．
【解答】解：（1）∵x+|x﹣a|≥x﹣x+a＝a，
∴不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R等价于a≥1，
a的取值范围是[1，+∞）
（2）由（1）知a＝1，f（x）＝x+|x﹣1|，
图象如下：
【再练一题】
设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥x+3，即|2x﹣4|+1≥x+3，则2|x﹣2|≥x+2，
当x≥2时，解得x≥6，
当x＜2，解得x，
所以原不等式的解集为（﹣∞，）∪（6，+∞）
（Ⅱ）由不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解可得：
a≤2|x﹣2|﹣2|x+2|+1在实数范围内有解，
令g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1，则a≤g（x）nax，
因为g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1≤2|（x﹣2）﹣（x+2）|+1＝9，
所以a≤g（x）max＝9，即a∈（﹣∞，9]．
思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．
(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．
【题型四】用综合法与分析法证明不等式
【典型例题】
用综合法或分析法证明：
（1）求证2．
（2）已知a+b+c＝1，a，b，c为正实数，证明 8．
【解答】证明（1）要证2，
只需证明（）2＞（）2，
即证明22，也就是证明42＞40，
上式显然成立，故原结论成立．
（2）（分析法）要证明8，
∵a+b+c＝1，只要证明••8，
∵，，，∴相乘可得；
（综合法）∵a，b，c为正实数，
∴，，，
∴••8，
∵a+b+c＝1，
∴8．
【再练一题】
已知函数f（x）＝x3，x∈[0，1]．
（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；
（2）证明：．
【解答】证明：（1）∵x∈[0，1]，∴x+1∈[1，2]．
要证明：f（x）≥1﹣x+x2，
只要证明：x3（x+1）+1≥（x+1）（1﹣x+x2），
只要证明：x4≥0，
显然成立，
∴f（x）≥1﹣x+x2；
（2）∵1﹣x+x2＝（x）2，当且仅当x时取等号，
∵f（），f（x）≥1﹣x+x2，
∴f（x），
（2）∵0≤x≤1，∴x3≤x，
∴f（x）≤x，
设g（x）＝x，x∈[0，1]，
∴g′（x）＝10，
∴g（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）≤g（1），
综上所述明．
思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
基础知识训练
1．已知．
（1）若函数的最小值为3，求实数a的值；
（2）若时，函数的最大值为k，且．求的最小值．
【答案】（1）6（2）2
【解析】
解：（1），，函数
当时，函数的最小值为，．
（2）当时，，
，，所以
因为，
所以当，即，时，最小值为2
2．选修4-5：不等式选讲
已知正实数满足.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ) 若对任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ) .
【解析】
(Ⅰ)
所以.
(Ⅱ)对正实数有，
所以，解得，当且仅当时等号成立．
因为对任意正实数，恒成立，
所以恒成立．
当时，不等式化为，整理得，所以不等式无解；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，整理得，不等式恒成立．
综上可得的取值范围是．
3．已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，对，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由得，
若，则，显然不成立；
若，则，，即；
若，则，即，显然成立，
综上所述，的取值范围是．
（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，
当时，，所以；
因为，
所以，解得，结合，
所以的取值范围是．
4．已知函数.
（1）解不等式；
（2）当，时，存在，使得，求实数的取值范围。
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由，且，得：
得：或或
解得：或或
综上所述：
（2）由，得：
，，则：
由得：
实数的取值范围是
5．选修4-5：不等式选讲
（1）已知，且，证明；
（2）已知，且，证明.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
证明：（1）因为
，
当时等号成立.
（2）因为 ，
又因为，所以，，，∴.
当时等号成立，即原不等式成立.
6．已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集；
(2)若存在使得成立,求的取值范围
【答案】（1）（2）
【解析】
解:（1）当时,故不等式可化为：
或或
解得：，所以解集为.
（2）当时，,，
于是原问题等价于存在使，即成立.
设，,则.
因为为开口向上的抛物线，对称轴为，
所以在单调递减，
当时，.
令，解得或.
又，因此的取值范围是.
7．选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）解不等式：；
（2）当，时，存在，使得，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由，且，得：
得：或或
解得：或或
综上所述：
（2）由，得：
，，则：
由得：
实数的取值范围是
8．已知函数，．
（1）若将函数图象向左平移个单位后，得到函数，要使
恒成立，求实数的最大值；
（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
（1）由函数向左平移个单位可知，
函数，
要使恒成立，则，即恒成立，
因为，
所以只需，即实数的最大值为1.
（2）当时，
函数
若函数存在零点，
则满足函数，
即，
因为函数与函数的图像有且只有一个交点，
所以实数的取值范围为.
9．已知函数.
（1）当，时，求不等式的解集；
（2）若，，的最小值为2，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）当，时，，
得或或，解得：，
∴不等式的解集为.
（2），
∴，
∴，
当且仅当，时取等号.
∴的最小值为.
10．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）当时，，
当时，，无解；
当时，，得，所以；
当时，，符合.
综上，不等式的解集为.
（2）因为恒成立等价于，
因为，
所以.
所以，所以，解得.
所以所求实数的取值范围为.
11．已知函数.
(1)若，求x的取值范围；
在（1）的条件下，求的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
(1)由已知得，，即，即，
即x的取值范围为．
(2)由可得
由柯西不等式，得
.
当且仅当，即时，
的最大值为
12．设函数，其中，.
（1）当，时，求关于的不等式的解集；
（2）若，证明：.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
解：（1）由，，
得，
所以的解集为.
（2）由，可得，
，
因为，，
所以，
当且仅当时等号成立.所以.
13．已知，且的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）若的图像与直线及围成的四边形的面积不小于14，求实数取值范围.
【答案】（1），；（2）
【解析】
（1）由得：，，
即，解得，.
（2）的图像与直线及围成的四边形，，，，.
过点向引垂线，垂足为，则.
化简得：，（舍）或.
故的取值范围为.
14．已知函数．
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值，正实数，满足，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）等价于
或或，
故或或，
综上解集为.
（2）
当且仅当取等号，
，，
，当且仅当时等号成立，
．
15．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）空集.
【解析】
解：（1）不等式，即.
可得，或或，
解得或，所以不等式的解集为.
（2）当时，，所以，
由得，即，
则，该不等式无解，
所以实数的取值范围是空集（或者）.
16．已知．
（1）求不等式的解集；
（2）设、、为正实数，且，求证：．
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
（1）①时，，
由，∴，∴，即，
②时，，由，∴，∴，即，
③时，，由，∴，∴，可知无解，
综上，不等式的解集为；
（2）∵，∴，
∴，且为正实数
∴，
∵，，，
∴，
∴
又为正实数，∴可以解得．
17．[选修4—5：不等式选讲]
已知函数.
（1）当，求不等式的解集；
（2）对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）当时，为：
当时，不等式为：，解得：，无解
当时，不等式为：，解得：，此时
当时，不等式为：，解得：，此时
综上所述，不等式的解集为
（2）对于任意实数，，不等式恒成立等价于
因为，当且仅当时等号成立
所以
因为时，，
函数单调递增区间为，单调递减区间为
当时，
，又，解得：
实数的取值范围
18．设函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ），证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）因为
根据题意，或或
解之得，
故解集为.
（Ⅱ）当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.
所以当时，函数.
由题知，即，
∵，
则，所以.
∴，∴，
所以.
19．选修4-5不等式选讲
已知关于的不等式的解集为，其中.
（1）求的值；
（2）若正数，，满足，求证：.
【答案】（1）（2）见证明
【解析】
（1）由题意知：
即或
化简得：或
不等式组的解集为
，解得：
（2）由（1）可知，
由基本不等式有：，，
三式相加可得：
，即：
20．选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）当时，解不等式；
（2）若存在满足，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）当时，，
当时，不等式等价于，解得，；
当时，不等式等价于，解得，；
当时，不等式等价于，解得，.
综上所述，原不等式的解集为.
（2）由，得，
而，
（当且仅当时等号成立）
由题可知，即，
解得实数的取值范围是.
能力提升训练
1．已知函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由题意， ，
所以等价于或或.
解得：或，所以不等式的解集为；
（Ⅱ）由(1)可知,当时, 取得最小值,
所以，即，
由柯西不等式得，
整理得，
当且仅当时, 即时等号成立.
所以的最小值为.
2．设函数，其中．
（1）解不等式；
（2）设的值域分别为，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）
由 得，，
解得
∴的解集为
（2），根据函数的单调性得
当x=-m时取等号
∴B=时A⊆B
∴
化简得
∴m的取值范围[-2，-1]∪[1，2].
3．已知函数f（x）=|2x-1|+|x+m|．
（l）当m=l时，解不等式f（x）≥3；
（2）证明：对任意x∈R，2f（x）≥|m+1|-|m|．
【答案】（1）{x|x≤-1或x≥1}；（2）见解析
【解析】
（1）当m=1时，f（x）=|2x-1|+|x+1|，
①当x≤-1时，f（x）=-3x≥3，解得x≤-1，
②当-1＜x＜时，f（x）=-x+2≥3，解得x≤-1，与-1＜x＜矛盾，舍去，
③当x≥时，f（x）=3x≥3，解得x≥1，
综上，不等式f（x）＜3的解集为{x|x≤-1或x≥1}；
（2）2f（x）=|4x-2|+|2x+2m|=|2x-1|+|2x-1|+|2x+2m|≥|2x-1|+|2x+2m|≥|2x+2m-2x+1|
=|2m+1|=|（m+1）+m|≥|m+1|-|m|，
∴对任意x∈R，2f（x）≥|m+1|-|m|．
4．已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求实数的取值范围.
【答案】(1) .(2) .
【解析】
（1）当时，.
①当时，原不等式可化为，
化简得，解得，∴；
②当时，原不等式可化为，
化简得，解得，∴；
③当时，原不等式可化为，
化简得，解得，∴；
综上所述，不等式的解集是；
（2）由题意知，对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立，
∵当时，，
∴对任意的，恒成立，
∵，，∴，
∴，即实数的取值范围为.
5．已知．
（1）证明；
（2）若，记的最小值为，解关于的不等式．
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
（1）．当且仅当,等号成立
（2）∵，当且仅当a=b=c等号成立
由不等式即．
由得：不等式的解集为．
6．[选修4—5：不等式选讲]
已知函数
（1）若，求不等式的解集.
（2）对任意的，有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1），
所以
解之得不等式的解集为.
(2)
当时，由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合，
所以，所以，
当时，不等式恒成立，
当时，由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合，
由题得，所以m没有解.
综上，.
7．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设集合满足：当且仅当时，，若，求证：.
【答案】(1) ；(2)见解析.
【解析】
（1）
当 时， ，得 ，故；
当 时， ，得 ，故；
当 时， ，得 ，故；
综上，不等式的解集为
（2）由绝对值不等式的性质可知
等价于，当且仅当，
即 时等号成立，故 所以，
所以，
即.
8．已知函数.
（Ⅰ）求时，的解集；
（Ⅱ）若有最小值，求的取值范围，并写出相应的最小值.
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）见解析.
【解析】
（Ⅰ）当时，
∵
当时解得
当时恒成立
当时解得
综上可得解集.
（Ⅱ）
当，即时，无最小值；
当，即时，有最小值；
当且，即时，
当且，即时，
综上：当时，无最小值；
当时，有最小值；
当时， ；
当时， ；
9．已知函数．
（Ⅰ）解关于的不等式；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
解：（I）当时，不等式为：，解得，故．
当时，不等式为：，解得，故1＜x＜3，
当时，不等式为：，解得，故．
综上，不等式的解集为．
（II）由恒成立可得恒成立．
又，故在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为．
∴，解得．
即的最值范围是．
10．已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若函数的定义域为，求实数的取值范围．
【答案】（I）（II）
【解析】
解：（I）由已知不等式，得，
当时，不等式为，解得，所以；
当时，不等式为，解得，所以；
当时，不等式为，解得，此时无解．
综上：不等式的解集为．
（II）若的定义域为，则
恒成立．
∵，当且仅当时取等号．
∴，即．
所以实数的取值范围是．
