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- 2023-12-23 发布
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试（理工类）
2013.4
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）为虚数单位，复数的虚部是
A． B． C． D .
（2）已知集合，，则
A. B. C. D.
（3）已知向量，.若，则实数的值为
A． B． C． D．
（4）在极坐标系中，直线与曲线相交于两点, 为极点，则的
大小为
A． B． C． D．
（5）在下列命题中，
１
１
１
正视图
侧视图
俯视图
①“”是“”的充要条件；
②的展开式中的常数项为；
③设随机变量～,若
，则．
其中所有正确命题的序号是
A．② B．③
C．②③ D．①③
（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三
视图如图所示，则这个几何体的体积为
A. B. C. D. 8
（7）抛物线（＞）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为
A. B. 1 C. D. 2
（8）已知函数.若，使成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有
A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
（9）在等比数列中，，则 ，为等差数列，且，则
数列的前5项和等于 .
（10）在中， ，，分别为角， ，C所对的边.已知角为锐角，且,
开始
i=0
S=0
S=S+2i-1
i≥6
输出S
结束
是
i=i+2
否
则 .
（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .
（12）如图，圆是的外接圆，过点C作圆的切
线交的延长线于点.若，
，则线段的长是 ；圆的
半径是 .
（13）函数是定义在上的偶函数，且满足
.当时，.若在区间上方程恰有
四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .
（14）在平面直角坐标系中，已知点是半圆（≤≤）上的一个动点，点在线段的延长线上．当时，则点的纵坐标的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（15）（本小题满分13分）
已知函数（）的最小正周期为.
（Ⅰ）求的值及函数的单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求函数的取值范围.
（16）（本小题满分13分）
盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．
（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；
（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；
（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为，试求随机变量的分布列与数学期望．
（17）（本小题满分14分）
P
D
A
B
C
F
E
如图，在四棱锥中，平面平面，且， ．四边形满足，，．点分别为侧棱上的点，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当时，求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在实数，使得平面平面？若存在，
试求出的值；若不存在，请说明理由．
（18）（本小题满分13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.
（19）（本小题满分14分）
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点,离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点，直线，与直线分别交于点，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围.
（20）（本小题满分13分）
设是数的任意一个全排列，定义，其中.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求的最大值；
（Ⅲ）求使达到最大值的所有排列的个数.
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试答案（理工类）
2013.4
一、选择题：
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
A
D
A
C
C
D
A
B
二、填空题：
题号
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
答案
，
1,
（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答题：
（15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
. …………………………………………4分
因为最小正周期为，所以. ………………………………6分
所以.
由，，得.
所以函数的单调递增区间为[]，. ………………8分
（Ⅱ）因为，所以， …………………………………10分
所以. ………………………………………12分
所以函数在上的取值范围是[]. ……………………………13分
（16）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则
．
答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．…………………………3分
（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．
由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．
所以．
答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为．……………7分
（Ⅲ）由题意可知，的可能取值为，所以随机变量的可能取值为．
； ；
； ；
； ．
所以随机变量的分布列为
所以．……………………13分
（17）（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）由已知，，
所以 ．
因为，所以．
而平面，平面，
所以平面． ……………………………………………………4分
（Ⅱ）因为平面平面，
平面平面，且，
所以平面.
所以，．
又因为，
所以两两垂直． ……………………………………………………5分
如图所示，建立空间直角坐标系，P
D
A
B
C
F
E
x
yx
zx
因为，，
所以
．
当时，为中点，
所以,
所以．
设异面直线与所成的角为，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．…………………………………9分
（Ⅲ）设，则．
由已知，所以，
所以 所以．
设平面的一个法向量为，因为,
所以 即
令，得．
设平面的一个法向量为，因为,
所以 即
令，则．
若平面平面，则，所以，解得．
所以当时，平面平面．…………………………………………14分
（18）（本小题满分1 3分）
解：函数定义域为， 且…………2分
①当，即时，令，得，函数的单调递减区间为，
令，得，函数的单调递增区间为.
②当，即时，令，得或，
函数的单调递增区间为，.
令，得，函数的单调递减区间为.
③当，即时，恒成立，函数的单调递增区间为. …7分
(Ⅱ)①当时，由(Ⅰ)可知，函数的单调递减区间为，在单调递增.
所以在上的最小值为，
由于，
要使在上有且只有一个零点，
需满足或解得或.
②当时，由(Ⅰ)可知，
（ⅰ）当时，函数在上单调递增；
且，所以在上有且只有一个零点.
（ⅱ）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
又因为，所以当时，总有.
因为，
所以.
所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增，
从而当时，在上有且只有一个零点.
综上所述，或或时，在上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分
（19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，
依题意得解得，.
所以椭圆的方程为. ………………………………………………4分
（Ⅱ）显然点.
（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以. …………………………………………6分
（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，显然时，不符合题意.
由得.
设,则.
直线，的方程分别为：，
令，则.
所以，. ……………………10分
所以
. ……………………………………………12分
因为，所以，所以，即.
综上所述，的取值范围是. ……………………………………14分
（20）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）. ……3分
（Ⅱ）数的倍与倍分别如下：
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为，所以.
对于排列，此时，
所以的最大值为. ……………………………………………………………8分
（Ⅲ）由于数所产生的个数都是较小的数，而数所产生的个数都是较大的数，所以使取最大值的排列中，必须保证数互不相邻，数也互不相邻；而数和既不能排在之一的后面，又不能排在之一的前面.设，并参照下面的符号排列△○□△○□△○□△○
其中任意填入个□中，有种不同的填法；任意填入个圆圈○中，共有种不同的填法；填入个△之一中，有种不同的填法；填入个△中，且当与在同一个△时，既可以在之前又可在之后，共有种不同的填法，所以当时，使达到最大值的所有排列的个数为，由轮换性知，使达到最大值的所有排列的个数为. ……………………………13分