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- 2023-12-19 发布
渭南市2018年高三教学质量检测（Ⅱ）
理科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
5．在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A．0 B． C． D．
7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
A． B． C．3 D．6
8．在中，角所对的边分别为，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．某单位员工按年龄分为三级，其人数之比.现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（ ）
A．110 B．100 C．90 D．80
10．下列说法中正确的是（ ）
①“，都有”的否定是“，使”.
②已知是等比数列，是其前项和，则也成等比数列.
③“事件与事件对立”是“事件与事件互斥”的充分不必要条件.
④已知变量的回归方程是，则变量具有负线性相关关系.
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
11．已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的表面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球
的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．函数，若，使得都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量，，若（为实数），则 ．
14．设，则二项式展开式中的常数项为 ．
15．若，则 ．
16．“求方程的解”由如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解.类比上述解题思路，不等式的解集是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 已知正项等比数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18． 在如图所示的空间几何体中，平面平面，与都是边长为2的等边三角形，，和平面所成的角为60°，且点在平面上的射影落在的平分线上.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19． 习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：
（1）求400名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）；
（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数（千步）的人数（结果四舍五入保留整数）；
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取人作为“日行万步”
活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元.求工会慰问奖励金额的分布列和数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，
则，
20． 已知点在椭圆上，为右焦点，垂直于轴.为椭圆上四个动点，且交于原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，，满足，判断的值是否为定值，若是，求出此定值，并求出四边形面积的最大值，否则请说明理由.
21． 已知函数.
（1）若在上是减函数，求实数的取值范围；
（2）若的最大值为2，求实数的值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（为参数）.
（1）求直线被圆所截得的弦长；
（2）若过的直线与圆相交于不同的两点，求.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，证明：.