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- 2023-12-17 发布
柳州铁一中学、南宁三中高二上学期联考理科数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知等差数列的公差为2，且，则（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:分）
甲组
乙组
9
0
9
2
1
5
8
7
4
2
4
已知甲组数据的中位数为,乙组数据的平均数为,则的值分别为（ ）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
6．已知角的终边过点，且，则的值为( )
A． B. C． D.
7．已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为( )
A． 1 B. 2 C． 3 D. 4
8．已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．1
9．已知若，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C. D.
10．某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰
直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知点分别为椭圆与双曲线的公共焦点，分别是和的离心率，若
是和在第一象限内交点，,则的值可能在下列哪个区间（ ）
A． B． C． D．
12．若实数满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．只填结果）
13．曲线在点处的切线方程为________.
14 设正四面体的棱长为，则它的外接球的体积为 .
15．直线与双曲线交于两点，则的中点坐标为 .
16．已知椭圆方程为，M是椭圆上一动点，和是左、右两焦点，由向的外角平分线作垂线，垂足为N，则N点的轨迹方程为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
17．（本题满分10分）已知数列是递增的等比数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，，求数列的前项和。
18．（本题满分12分）在中，角的对边分别为，已知向量
，，且.
（1）求角的大小；
（2）若点为上一点，且满足，求的面积.
19.（本题满分12分）某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图：
（1）求图中的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；
（3）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？
20.（本题满分12分）已知直线与双曲线有两个不同的交点，
求双曲线离心率的范围.
21．（本题满分12分）如右下图，在四棱锥中，直线平面，，，
（I）求证：直线平面.
（II）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值.
22.（本题满分12分）设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于、两点，证明点到直线的
距离为定值，并求弦长度的最小值.
柳州铁一中学、南宁三中高二上学期联考理科数学试卷答案
1．C
2．A 解析：，，且是的充分不必要条件，，则；故选A．
3．D 解析： 是奇函数，是偶函数，且在区间上单
调递增，是偶函数，且在单调递减，在单调递增，
是偶函数，且；故选D．
4．A
5．C 解析：由茎叶图，得甲组数据共5个，且中位数为15，所以，乙组数据的平均值
，解得，故选C。
6． A 解析：点 , ，，
即.解得 . ,.所以
7．B 8．C
9. D 解析：令，则，即，则直线的斜率为，其倾斜角为；故选D．
10．A
11. A 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦点坐标为，由椭圆与双曲线的定义得，，由勾股定理得
联立方程得，即
由均值不等式得，由于，则
11. D 解：令，则，，则
当且仅当取等号
13．
14． 解析：设四面体为ABCD，过点A作平面，则为的中心
，设四面体外接球的半径为，由勾股定理得，解得，
15. 解析：设，的中点坐标为，代入双曲线方程化简得，则，又，联立方程即可得。[来源]
16． 解析：延长交直线于A点，则是的垂直平分线，则
，由椭圆的定义得,又是的中位线，则
17 解：（Ⅰ）由题设知 ……1分
又，可解得或（舍去） ……3分
由得公比 ……4分
故, ……6分.
（Ⅱ） ……8分，
又 ……10分，
所以
……12分
18 解（1）由，得，
由正弦定理可得， ……2分
∴， ……4分
∵，∴，∵，∴ ……6分
（2）∵，∴，
又，两边平方： ①
∵ ② ……8分
由①②可得 ……10分，
∴. ……12分
19解：（1）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005． ……2分
（2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，
[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5 ……6分
（3）由直方图，得：第3组人数为0.3×100=30。第4组人数为0.2×100=20人，第5组人数为0.1×100=10人．所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
（A1，A2），（A1，A3），（B1，B2），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1）， ……9分
其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．……11分
所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为 ……12分
20. 解：联立消去得 ……3分
由于直线与双曲线有两个不同的交点，则且 ……6分
解得或 ……8分
， ……10分
……12分
21．解：（Ⅰ）∵平面∴ 又∵，
故可建立建立如图所示坐标系 ……1分.
由已知，，，（）
∴，，
∴，. ……4分，
∴，，∴平面 ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，
设直线与平面所成的角为，
∴，
∵ ∴，即 ……8分
设平面的一个法向量为，，
由，∴，令，则 …10分
∴， ………11分
二面角的平面角是锐角，∴二面角的余弦值为 …12分
21. 解：（I）由 ……1分
由右焦点到直线的距离为
得： 解得 ……3分
所以椭圆C的方程为 …………4分
（II）设，
①当直线的斜率不存在时，设直线AB的方程为
与椭圆联立消去y得…………5分
由韦达定理得 …………6分
即
整理得 …………8分
所以O到直线AB的距离 …………9分
当直线的斜率不存在时，其方程为，
点O到直线AB的距离为 …………10分
，
当且仅当OA=OB时取“=”号。由
即弦AB的长度的最小值是 …………12分