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- 2023-12-17 发布
2019学年度下学期高二期末考试
数学试题（文科）
本试卷共23题，时间：120分钟，共150分，共4页
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设，则（ ）
A． B． C．0 D．1
2. 已知集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
3. 如果甲去旅游，那么乙、丙和丁将一起去．据此，下列结论正确的是（ ）
A．如果甲没去旅游，那么乙、丙、丁三人中至少有一人没去．
B．如果乙、丙、丁都去旅游，那么甲也去．
C．如果丙没去旅游，那么甲和丁不会都去．
D．如果丁没去旅游，那么乙和丙不会都去．
4. 若抛物线的准线与圆相切，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
5.若，则 （ ）
A． B． C． D．
6. 我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，该女子第3天所织布的尺数为（ ）
A． B． C． D．
7. 钝角三角形的面积是， ，则 ( )
A．5 B． C．2 D．1
8. 双曲线：的渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在主视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从
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到的路径中，最短路径的长度为( )
A． B． C． D．2
10.某数列满足：第1项是0，第2项是1， 从第三项开始，
每一项都等于前两项之和．某同学设计了一个求这个数列的前
10项和的程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入
的语句是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
11. 在正方体中，为棱的中点，
则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12. 函数在区间上单调递增，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知向量，的夹角是，若，，则
14. 若满足约束条件，设的最大值为，最小值为，则________.
15. 曲线在点处的切线的斜率为，则________．
16. 已知，则满足的的取值范围为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）设等差数列满足，。
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和及使得最大的序号的值。
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18．（12分）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），
结果如下：
甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307
308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
（1）根据以上数据，完成两品种的棉花的纤维长度的茎叶图.
(2) 根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
① ______________________________________
______________________________________
______________________________________
② ______________________________________
______________________________________
______________________________________
19．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，， 底面ABCD．
（1）证明：；
（2）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．
20．（12分）已知点分别为椭圆：的左右顶点，为上异于的一点，直线的斜率分别是．
（1）求证：；
（2）设为上的两点，是坐标原点，若，，
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求证：△面积是定值．
21．（12分）已知函数．
（1）设，求函数的极值；
（2）若，且当时，恒成立，试确定的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（2）设为上任意两点，且，求的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲] （10分）
设．
（1）当时，解不等式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
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2017-2018学年度下学期高二期末考试
数学（文科）参考答案
BDCCB ABCBD AC
13. 14. 6 15. 16.
17. 解：（1）由得
可解得数列的通项公式为…………（6分）
（2）由（1）知
因为 所以当n=5时，取得最大值. …………（12分）
18. 解：（1）
…………（4分）
（2）①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．
②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．
③甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm．
④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．
…………（12分）（以上答出其中任何两条即可）
19. 解：（1）因为， 由余弦定理得,
从而BD2+AD2= AB2，故BDAD
又PD底面ABCD，可得BDPD
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所以BD平面PAD. 故 PABD…………（6分）
（2）如图，作DEPB，垂足为E.已知PD底面ABCD，则PDBC.由（1）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD.
故BC平面PBD，BCDE.则DE平面PBC.
由题设知，PD=1，则BD=，PB=2，
根据DE·PB=PD·BD，得DE=，即棱锥D—PBC的高为…………（12分）
20. 证明：（1）设，则．因为，所以
所以．…………（4分）
（2）当不垂直于轴时，设，．
由，，则，
，．
因为，，所以，即，因为，，所以，．
到距离，所以△面积．……（10分）
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当垂直于轴时，，则由，得
，即，代入椭圆方程解得，
所以△面积
综上所述，△的面积为定值1 .
21. 解：（1）当时，，…………（1分）
令，列表讨论的变化情况：
-1
（-1，3）
3
+
0
-
0
+
极大值6
极小值-26
∴的极大值是； ………（4分）
（2），
的图像是开口向上抛物线，关于对称，
由，得，
当时，在最大值是，
在时不能成立，
即当不恒成立， …………（6分）
当时，则上是增函数，从而上的
最小值是，最大值是， ……（8分）
∴，解得， ………（10分）
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因此使恒成立的的取值范围是……（12分）
22. 解：（1）曲线的普通方程是，代入，化简得的极坐标方程是． …………（5分）
（2）不妨设射线：，射线：，则，．所以
．
当，即，时，取最大值．
…………（10分）
23. 解：（1）f(x)＝|x|＋2|x－1|＝ …（2分）
当x＜0时，由2－3x≤4，得－≤x＜0；
当0≤x≤1时，1≤2－x≤2；
当x＞1时，由3x－2≤4，得1＜x≤2．
综上，不等式f(x)≤4的解集为[－，2]． …（5分）
（2）f(x)＝|x|＋2|x－a|＝ …（7分）
可见，f(x)在(－∞，a]单调递减，在(a，＋∞)单调递增．
当x＝a时，f(x)取最小值a．所以，a取值范围为[4，＋∞)． …（10分）
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