重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理）试题 PDF版含答案 11页

1 重庆八中高 2020 级高三（下）第五次月考 数学（理科） 本试卷满分 150分，考试时间 120分钟. 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合 ，则 中元素的个数为 A. B. C. D. 2.已知复数 （其中 为虚数单位），则 的虚部为 A. B. C. D. 3.若 ， ，则 A. B. C. D. 4.在 中，已知 ，则 的面积为 A. B. C. D. 5.下面几种推理中是演绎推理的为 A.高三年级有 30个班，1班 55人，2班 56人，三班 57人，由此推测各班都超过 55人 B.猜想数列 ， ， ， 的通项公式为 C.半径为 的圆的面积 ，则单位圆的面积 D.由等差数列的性质，推测等比数列的性质 6.执行下面的程序框图，为使输出 的值小于 ，则输入的正整数 的值不可能为 A. B. C. D. 7.某几何体的三视图如上图所示，其中网格纸上的小正方形的边长为 ，则该几何体的体 积为 A. B. C. D. 2 8.已知 展开式中第 项与第 项的二项式系数相等，则奇数项的系数和为 A. B. C. D. 9.已知 为锐角， ，则 A. B. C. D. 10.某市政府为加强数学科学研究，计划逐年加大研发资金投入.已知市政府 1979年全年投 入研发资金 100万元，2019年全年投入研发资金 500万元，若每年投入的研发资金的增 长率相同，则该市政府 2020年全年投入的研发资金约为（ ）万元. （本题中增长率 ，可用自然对数的近似公式: ，参考数据： ） A. B. C. D. 11.已知实数 满足 ，则 的最大值为 A. B. C. D. 12.如图，矩形 中， ， 为边 的中点，将 沿直线 翻 折成 ．在翻折过程中，直线 与平面 所成角的正弦值最大为 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在题中的横线上． 13.函数 的定义域为 ． 14.如图,茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分（均为整数）,其中一个数 字模糊不清,则甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为 ． 15.已知正 的边长为 ， 为 内切圆 的一条直径， 为 边上的动点，则 的取值范围为 ． 16.已知点 为椭圆 上的任意一点，点 分别为该 椭圆的左、右焦点，则 的最大值为 ． 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求 做答. （一）必考题：共 60分. 17.（本小题满分 12分）设数列 的前 项和为 ，已知 ， ， ． （Ⅰ）求通项公式 ； （Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ． 3 18.（本小题满分 12分）重庆八中为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织 了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，高二年级代表队和高一年级代表队（每队 3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得 分，答错得 分．假设 高二年级代表队中每人答对的概率均为 ，高一年级代表队中 人答对的概率分别为 ， ， ，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示高一年级代表队的总得分． （Ⅰ）求 的分布列和数学期望； （Ⅱ）求两队总得分之和等于 分且高二年级获胜的概率． 19.（本小题满分 12分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平 面 ，已知 ， 为线段 的中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值． 20.（本小题满分 12分）设函数 ，若 （其中 ）． （Ⅰ）求实数 的取值范围；（Ⅱ）证明： ． 4 21. （ 本 小 题 满 分 12 分 ）已知点 为抛物线 的焦点．点 在 上，点 在 轴上（位于点 右侧），直线 分别交 于 另一点 ，点 在线段 上且 ． （Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）设 的面积分别为 ，求 的表达式 及 的 取值范围． （二）选考题：共 10 分.请考生在 22，23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分. 22.（本小题满分 10分）在直角坐标系中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ， 直线 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）写出曲线 的极坐标方程； （Ⅱ）设 与曲线 交于 两点， 与曲线 交于 两点，求四边形 面积 的取值范围． 23.（本小题满分 10分）已知函数 ． （Ⅰ）求不等式 的解集； （Ⅱ）若方程 有三个实数根，求实数 的取值范围． 5 重庆八中高 2020 级高三（下）第五次月考 理科数学参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A A C B B A C B B A 1.解： 2.解： ，其虚部为 3.解：由均值不等式 ，又 4.解：由正弦定理得 5.解：A,B,C为合情推理 6.解： 所以，当 时， 时终止循环，输出 ，不小于 ，不符合题意 7.解：该几何体为 ，所以 8.解：由题意 9.解：由 为锐角， 知 10.解:由题意 ，则 ， 则2020年全年投入资金为 万元 11.解：设 表示圆 上一动点，则 表示点 到直线 6 的距离 ， 表示点 到原点 的距离 .又直线 与圆 相切，记切点为 ，则 . 12.解：分别取 的中点 ，易得点 的轨迹是以 为直径的圆，建系如图， 则 ，平面 的其中一个法向量为 ，由 ，设 ，则 .记 直线 与平面 所成角为 ， 则 ， 令 ， ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值最大为 ． 二、填空题： 题号 13 14 15 16 答案 13.解： 或 ，定义域为 ； 注：必须写出集合形式 14.解：设模糊不清的数字为 ，甲的平均分高于乙的平均分等价于甲的总分高于乙的总 分，所以 ，所以 15.解：易得圆 的半径 当 为正 边的中点是 最小为 ，当 为正 的顶点时 最大为 ，故 的取值范围为 . 16.解：设 的外接圆半径为 ，由正弦定理得 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 7 17.解：（Ⅰ） ， ，得 ， 当 时， ， 两式相减得 ，即 ， 当 时， ， ，满足 ，.....5分 ，则数列 是公比 的等比数列，则通项公式 ．.....6分 （Ⅱ） .....9分 所以 ．.....12分 18.解：（Ⅰ）由题意知， 的可能取值为 ， 由于高一年级代表队中 人答对的概率分别为 ， ， ， ， ， ， ， 的分布列为： 0 100 200 300 ．......7分 （Ⅱ）由 表示“甲队得分等于 乙队得分等于 ”， 表示“甲队得分等于 乙队得分等于 ”，可知 、 互斥． 又 ， ， 则甲、乙两队总得分之和等于 30分且甲队获胜的概率为 ．......12分 19.解：（Ⅰ）证明：连结 和 交于 ，连结 ， （2分） 为正方形， 为 中点，又 为 中点， ， （4分） 平面 ， 平面 ， 平面 ． （5分） （Ⅱ）解： 平面 ， 平面 ， ， 为正方形， ， ， ， 平面 ， 平面 ， 8 过 作 ，则 平面 （7分） 以 为原点，以 为 轴建立如图所示的坐标系， 则 ， 设平面 的法向量为 ， 由 ， （9分） 同理可得平面 的法向量 （10分） 由 得 二面角 的平面角的余弦值为 （12分） 20.（Ⅰ） 的定义域为 ， .....2分 所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增......3分 又当 时， ；当 时， ，且 当 且 时， ；当 时， . 因为 ，所以 ......5分 （Ⅱ）法一：∵ ，∴欲证 ， 即证 .....6分 即证 ，即证 .....8分 令 （ ）即证： .....9分 令 （ ） 9 ∵ ， ∴ 在 递增，∴ ，证毕......12分 法二：由（1）易得： ，∴ .....7分 故，欲证： ，即证： 即证： ，即证： .....8分 ∵ ，即： ，∴ .....9分 令 （ ），∴ ∴即证： .....10分 即证： ，即证： ，令 ∵ ，∴ 在 递增，∴ ，证毕......12分 21.解：（Ⅰ）由点 在 上得： …………………………………4分 （Ⅱ）点 ，则直线 ，联立 得 从而 ，则点 ， 由 可知点 为 的重心，则 ，即 ， ………6分 则直线 的方程为 令 可得 ，由 可得 …………8分 且 10 则 …………10分 令 ，则 ， ， ……12分 22.解：（Ⅰ）由 （ 为参数）消去参数 得 ， 将 的直角坐标方程化为极坐标方程得 ......5分 （Ⅱ）设 ，由 与 联立可得 ， 所以 ，则 ， 用 代替 ，可得 ， 又因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ......10分 23.解：（Ⅰ） 或 或 ， 解得 ．.....5分 （Ⅱ） 方程 有三个实数根，令 ，则 11 ， 作出 的图象如图所示，由 的图象可知， ，即 ． .....10分