上海实验学校2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（解析版） 22页

‎2015-2016学年上海实验学校高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一.填空题（本大题共10题，每题4分，共40分）‎ ‎1．=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎2．过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎3．已知，，则=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎4．若，，且与垂直，则向量与的夹角大小为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎5．已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎6．已知直线l1：6x+（t﹣1）y﹣8=0，直线l2：（t+4）x+（t+6）y﹣16=0，若l1与l2平行，则t=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎7．设无穷等比数列{an}的公比q，若，则q=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎8．设等边三角形ABC的边长为6，若，，则=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎9．已知△ABC满足|AB|=3，|AC|=4，O是△ABC的外心，且=λ+（λ∈R），则△ABC的面积是　　　　　　．‎ ‎　‎ 第22页（共22页）‎ ‎10．定义函数f（x）={x．{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4）=2，{﹣2.3}=﹣2．当x∈（0，n]（n∈N*）时，函数f（x）的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则（++…+）=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）‎ ‎11．在边长为1的正六边形A1A2A3A4A5A6中，的值为（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎　‎ ‎12．已知an=，Sn是数列{an}的前n项和（　　）‎ A．和都存在 B．和都不存在 C．存在，不存在 D．不存在，存在 ‎　‎ ‎13．若=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎14．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，的最小值是2，则（　　）‎ A．若θ确定，则唯一确定 B．若θ确定，则唯一确定 C．若确定，则θ唯一确定 D．若确定，则θ唯一确定 ‎　‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共4题，共10+10+12+12=44分）‎ ‎15．在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（4，﹣1），P（2，0），求：‎ 第22页（共22页）‎ ‎（1）的值；‎ ‎（2）∠APB的大小．‎ ‎　‎ ‎16．己知两点A（2，1），B（m，4），求 ‎（1）直线AB的斜率和直线AB的方程；‎ ‎（2）已知m∈[2﹣，2+3]，求直线AB的倾斜角α的范围．‎ ‎　‎ ‎17．数列{an}满足a1=1，a2=7，令bn=an•an+1，{bn}是公比为q（q＞0）的等比数列，设cn=a2n﹣1+a2n；‎ ‎（1）求证：（n∈N*）；‎ ‎（2）设{cn}的前n项和为Sn，求的值．‎ ‎　‎ ‎18．定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为（n∈N*）．‎ ‎（1）若数列{an}前n项的“倒平均数”为，求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{bn}满足：当n为奇数时，bn=1，当n为偶数时，bn=2．若Tn为{bn}前n项的倒平均数，求；‎ ‎（3）设函数f（x）=﹣x2+4x，对（1）中的数列{an}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎　‎ 四.附加题（本大题共2题，共10+10=20分）‎ ‎19．对于一组向量（n∈N*），令=+++…+，如果存在（p∈{1，2，3…，n}），使得||≥|﹣|，那么称是该向量组的“h向量”；‎ ‎（1）设=（n，n+x）（n∈N*），若是向量组的“h向量”，求x的范围；‎ ‎（2）若（n∈N*），向量组（n∈N*）是否存在“h向量”？‎ 第22页（共22页）‎ 给出你的结论并说明理由．‎ ‎　‎ ‎20．等差数列{xn}的前n项和记为Sn，等比数列{bn}的前n项和记为Tn，已知x3=5，S3为9，b2=x2+1，∅（lim，n→∞） Tn=16．‎ ‎（1）求数列{xn}的通项xn；‎ ‎（2）设Mn=lgb1+lgb2+…+lgbn，求Mn的最大值及此时的n的值；‎ ‎（3）判别方程sin2xn+xncosxn+1=Sn是否有解，说明理由．‎ ‎　‎ ‎　‎ 第22页（共22页）‎ ‎2015-2016学年上海实验学校高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题（本大题共10题，每题4分，共40分）‎ ‎1．=　1　．‎ ‎【考点】极限及其运算．‎ ‎【专题】导数的综合应用．‎ ‎【分析】变形利用数列极限的运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解：原式==1，‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程　x﹣2y﹣1=0　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】方法一，利用两条直线互相垂直，斜率之积等于﹣1，求出垂线的斜率，再求垂线的方程；‎ 方法二，根据两条直线互相垂直的关系，设出垂线的方程，利用垂线过某点，求出垂线的方程．‎ ‎【解答】解：方法一，直线2x+y=0的斜率是﹣2，‎ 则与这条直线垂直的直线方程的斜率是，‎ ‎∴过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线方程为 y﹣0=（x﹣1），‎ 即x﹣2y﹣1=0；‎ 方法二，设与直线2x+y=0垂直的直线方程为x﹣2y+a=0，‎ 且该垂线过过点（1，0），‎ ‎∴1×1﹣2×0+a=0，解得a=﹣1，‎ ‎∴这条垂线的直线方程为x﹣2y﹣1=0．‎ 第22页（共22页）‎ 故答案为：x﹣2y﹣1=0．‎ ‎【点评】本题考查了直线方程的求法与应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎3．已知，，则=　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先根据向量的基本运算得到2﹣的坐标表示，再代入向量的模长计算公式即可．‎ ‎【解答】解∵，，‎ ‎∴2﹣=2（﹣4，5）﹣（﹣2，4）=（﹣6，6）；‎ ‎∴==6．‎ 故答案为； 6．‎ ‎【点评】本题主要考察平面向量数量积的坐标表示、模长计算，考察计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．若，，且与垂直，则向量与的夹角大小为　　．‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用两个向量垂直的性质可得（）•=0，求得cosθ 的值，进而求得θ的值．‎ ‎【解答】解：设向量与的夹角大小为θ，则由题意可得（）•=++=1+1×2×cosθ=0，‎ ‎∴cosθ=﹣．‎ 再由 0≤θ＜π可得 θ=，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为　　．‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【分析】设直线的方向向量为=（a，b），直线的倾斜角为α．利用=0，即可得出．‎ ‎【解答】解：设直线的方向向量为=（a，b），直线的倾斜角为α．‎ 则=a﹣b=0，‎ ‎∴=tanα，‎ ‎∴α=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了直线的方向向量与法向量、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．已知直线l1：6x+（t﹣1）y﹣8=0，直线l2：（t+4）x+（t+6）y﹣16=0，若l1与l2平行，则t=　﹣5　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．‎ ‎【分析】由平行关系可得6×（t+6）=（t+4）（t﹣1），解方程验证排除重合可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得6×（t+6）=（t+4）（t﹣1），‎ 解方程可得t=﹣5或t=8，‎ 经验证t=8时直线重合，应舍去 故当t=﹣5时，两直线平行．‎ 故答案为：﹣5．‎ ‎【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．‎ ‎　‎ ‎7．设无穷等比数列{an}的公比q，若，则q=　　．‎ ‎【考点】数列的极限．‎ ‎【专题】极限思想；分析法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由于q为无穷等比数列{an}的公比，即有0＜|q|＜1，由无穷等比数列的极限公式可得（a3+a4+…+an）=，再由等比数列的通项公式，解方程可得公比q．‎ ‎【解答】解：由于q为无穷等比数列{an}的公比，即有0＜|q|＜1，‎ 第22页（共22页）‎ 由，可得 a1==，‎ 即为q2+q﹣1=0，‎ 解得q=（舍去），‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查数列的极限的求法，注意运用无穷等比数列的极限公式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．设等边三角形ABC的边长为6，若，，则=　﹣18　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】计算题；数形结合；数形结合法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】由已知得=， =，由此能求出的值．‎ ‎【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为6，，‎ ‎∴D为AC中点，∴ =，‎ ‎∵，∴ =，‎ ‎∴=（）（）‎ ‎=+++‎ ‎=﹣36+++‎ ‎=﹣36+6+9+3‎ ‎=﹣18．‎ 故答案为：﹣18．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【点评】本题考查向量数量积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法和向量数量积公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎9．已知△ABC满足|AB|=3，|AC|=4，O是△ABC的外心，且=λ+（λ∈R），则△ABC的面积是　或　．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】设AC的中点为D，根据条件和O是△ABC的外心，利用两个向量的加减法的法则及其几何意义，求出，可得BD⊥AC和B、O、D三点共线，在直角三角形中求出 sin∠BAC，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积；当λ=0时，AB⊥BC，由三角形是直角三角形和勾股定理，求出△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：如图：O是△ABC的外心，设AC的中点为D，‎ ‎∵，‎ ‎∴===，‎ 则，‎ ‎∴，即B、O、D三点共线．‎ ‎∵O是△ABC的外心，∴OD⊥AC，则BD⊥AC，∴sin∠BAC===，‎ ‎∴△ABC的面积S==；‎ 第22页（共22页）‎ 当λ=0时，此时，即AB⊥BC，‎ ‎∴△ABC的面积S===，‎ 综上可得，△ABC的面积是或 故答案为：或．‎ ‎【点评】本题考查向量的基本定理和运算法则、两个向量的加减法的法则及其几何意义，三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，以及三角形的面积公式，属于难题．‎ ‎　‎ ‎10．定义函数f（x）={x．{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4）=2，{﹣2.3}=﹣2．当x∈（0，n]（n∈N*）时，函数f（x）的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则（++…+）=　2　．‎ ‎【考点】极限及其运算．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据{x}的定义、f（x）={x•{x}}，依次求出数列{an}的前5项，再归纳出an=an﹣1+n，利用累加法求出an，再利用裂项相消法求出 ‎ ‎1‎ a1‎ ‎+‎ ‎1‎ a2‎ ‎+…+‎ ‎1‎ an 第22页（共22页）‎ 的值．进而能求出（++…+）．‎ ‎【解答】解：由题意易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以A1={1}，a1=1；‎ 当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以A2={1，3，4}，a2=3；‎ 当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，‎ 所以A3={1，3，4，7，8，9}，a3=6；‎ 当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，‎ 所以A4={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a4=10；‎ 当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，‎ 所以A5={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a5=15，‎ 由此类推：an=an﹣1+n，所以an﹣an﹣1=n，‎ 即a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，an﹣an﹣1=n，‎ 以上n﹣1个式子相加得，an﹣a1=‎ ‎（n﹣1）（n+2）‎ ‎2‎ ‎，‎ 解得an=‎ n（n+1）‎ ‎2‎ ‎，所以 ‎1‎ an ‎=‎ ‎2‎ n（n+1）‎ ‎=2（‎ ‎1‎ n ‎﹣‎ 第22页（共22页）‎ ‎1‎ n+1‎ ‎），‎ 则 ‎1‎ a1‎ ‎+‎ ‎1‎ a2‎ ‎+…+‎ ‎1‎ an ‎=2[（1﹣‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎）+（‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎﹣‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎）+…+（‎ ‎1‎ n ‎﹣‎ ‎1‎ n+1‎ ‎）]=‎ ‎2n 第22页（共22页）‎ n+1‎ ‎，‎ ‎∴（++…+）‎ ‎=（）‎ ‎=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是分段函数，集合元素的个数，基本不等式在求函数最值时的应用，其中正确理解函数f（x）=[x[x]]，所表示的意义是解答本题的关键．‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）‎ ‎11．在边长为1的正六边形A1A2A3A4A5A6中，的值为（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】连接A1A5，由正六边形的性质，可证出△A1A3A5是边长为的正三角形，再用向量数量积的定义，可计算出•的值．‎ ‎【解答】解：连接A1A5，‎ ‎∵A1A2A3A4A5A6是正六边形，∴△A1A2A3中，∠A1A2A3=120°‎ 又∵A1A2=A2A3=1，∴A1A3==‎ 同理可得A1A3=A3A5=‎ ‎∴△A1A3A5是边长为的等边三角形，‎ 由向量数量积的定义，得=•cos120°=﹣‎ 故选B 第22页（共22页）‎ ‎【点评】本题给出正六边形的边长为1，叫我们求向量的数量积，着重考查了正多边形的性质、余弦定理和向量数量积的运算等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．已知an=，Sn是数列{an}的前n项和（　　）‎ A．和都存在 B．和都不存在 C．存在，不存在 D．不存在，存在 ‎【考点】数列的极限；数列的求和．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】利用数列的通项公式，判断两个极限即可．‎ ‎【解答】解：an=，Sn是数列{an}的前n项和，‎ 可得==0．‎ ‎=S2014+=S2014﹣，是定值．‎ 所以两个极限存在．‎ 故选：A；‎ ‎【点评】本题考查数列的极限的判断与应用，是基础题．‎ ‎　‎ 第22页（共22页）‎ ‎13．若=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】向量的投影．‎ ‎【专题】常规题型；计算题．‎ ‎【分析】先求得两向量的数量积，再求得向量的模，代入公式求解．‎ ‎【解答】解析：在方向上的投影为===．‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．‎ ‎　‎ ‎14．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，的最小值是2，则（　　）‎ A．若θ确定，则唯一确定 B．若θ确定，则唯一确定 C．若确定，则θ唯一确定 D．若确定，则θ唯一确定 ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】由题意可得=•t2﹣2•t+，它是关于变量t的一个二次函数，再利用二次函数的性质可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意可得=•t2﹣2•t+，它是关于变量t的一个二次函数，‎ 故当t===cosθ （其中，θ为、的夹角），‎ 取得最小值2，‎ 即||2sin2θ=2，‎ 故当θ唯一确定时，||唯一确定，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求向量的模的方法，属于基础题．‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共4题，共10+10+12+12=44分）‎ ‎15．在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（4，﹣1），P（2，0），求：‎ 第22页（共22页）‎ ‎（1）的值；‎ ‎（2）∠APB的大小．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】（1）运用向量的坐标运算可得=（0，﹣3），=（﹣2，1），再由数量积的坐标表示即可得到所求；‎ ‎（2）求得向量PA，PB的坐标和模，再由向量的夹角公式即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：（1）A（2，3），B（4，﹣1），P（2，0），‎ 可得=（0，﹣3），=（﹣2，1），‎ 即有•=0×（﹣2）+（﹣3）×1=﹣3；‎ ‎（2）=（0，3），=（2，﹣1），‎ ‎||=3，||=，‎ 可得cos∠APB===﹣．‎ 则∠APB=．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和模的公式，考查向量的夹角的求法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．己知两点A（2，1），B（m，4），求 ‎（1）直线AB的斜率和直线AB的方程；‎ ‎（2）已知m∈[2﹣，2+3]，求直线AB的倾斜角α的范围．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】（1）k=，分m=2和m≠2两种情况，可得直线AB的方程；‎ ‎（2）已知实数m∈[2﹣，2+3]，利用不等式的性质求出斜率tanα的范围，再利用正切函数的单调性求出倾斜角α的范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（2，1），B（m，4），‎ 当m=2时，直线的斜率不存在，直线AB的方程为x=2；　‎ 第22页（共22页）‎ 当m≠2时，已知直线AB的斜率k==，‎ 直线AB的方程为：y﹣1=（x﹣2），‎ 即3x+（2﹣m）y+m﹣8=0；‎ ‎（2）已知实数m∈[2﹣，2+3]，‎ ‎∴∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞），‎ 则直线AB的倾斜角α∈[，]‎ ‎【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，以及用两点式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想．‎ ‎　‎ ‎17．数列{an}满足a1=1，a2=7，令bn=an•an+1，{bn}是公比为q（q＞0）的等比数列，设cn=a2n﹣1+a2n；‎ ‎（1）求证：（n∈N*）；‎ ‎（2）设{cn}的前n项和为Sn，求的值．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【专题】证明题；分类讨论；分类法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）令bn=an•an+1，则=qn﹣1，由此能证明，n∈N*．‎ ‎（2）根氢q=1、q∈（0，1）、q∈（1，+∞）三种情况分类讨论，能求出的值．‎ ‎【解答】证明：（1）∵数列{an}满足a1=1，a2=7，令bn=an•an+1，‎ ‎{bn}是公比为q（q＞0）的等比数列，cn=a2n﹣1+a2n，‎ ‎∴b1=a1a2=7，，‎ ‎∴==q，‎ ‎∴=qn﹣1，‎ ‎，‎ ‎∴，n∈N*．‎ 第22页（共22页）‎ 解：（2）当q=1时，cn=8，∴Sn=8n， =0，‎ 当q≠1时，， =，‎ 当q∈（0，1）时， =，‎ q∈（1，+∞）时， ==0．‎ 综上：．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项公式的证明，考查数列的前n项和的极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．‎ ‎　‎ ‎18．定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为（n∈N*）．‎ ‎（1）若数列{an}前n项的“倒平均数”为，求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{bn}满足：当n为奇数时，bn=1，当n为偶数时，bn=2．若Tn为{bn}前n项的倒平均数，求；‎ ‎（3）设函数f（x）=﹣x2+4x，对（1）中的数列{an}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】数列的极限；数列与不等式的综合．‎ ‎【专题】综合题；新定义．‎ ‎【分析】（1）设数列{an}的前n项和为Sn，由题意，，所以．由此能求出{an}的通项公式．‎ ‎（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，则分n为偶数和n为奇数时，分别求出Sn，从而求出Tn．由此能求出．‎ 第22页（共22页）‎ ‎（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N*恒成立，则﹣x2+4x≤对任意n∈N*恒成立，令，则数列{cn}是递增数列，由此能推导出存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N*恒成立．‎ ‎【解答】解：（1）设数列{an}的前n项和为Sn，‎ 由题意，，‎ 所以． …‎ 所以a1=S1=6，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n+2，‎ 而a1也满足此式．…‎ 所以{an}的通项公式为an=4n+2．…‎ ‎（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，则当n为偶数时，，…‎ 当n为奇数时，． …‎ 所以． …‎ 所以． …‎ ‎（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N*恒成立，‎ 则﹣x2+4x≤对任意n∈N*恒成立，…‎ 令，因为，‎ 所以数列{cn}是递增数列，…‎ 所以只要﹣x2+4x≤c1，即x2﹣4x+3≥0，‎ 解得x≤1或x≥3．…‎ 所以存在最大的实数λ=1，‎ 使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N*恒成立．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项公式、极限的求法，探索实数是否存在．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎　‎ 第22页（共22页）‎ 四.附加题（本大题共2题，共10+10=20分）‎ ‎19．对于一组向量（n∈N*），令=+++…+，如果存在（p∈{1，2，3…，n}），使得||≥|﹣|，那么称是该向量组的“h向量”；‎ ‎（1）设=（n，n+x）（n∈N*），若是向量组的“h向量”，求x的范围；‎ ‎（2）若（n∈N*），向量组（n∈N*）是否存在“h向量”？‎ 给出你的结论并说明理由．‎ ‎【考点】数列与向量的综合．‎ ‎【专题】新定义；转化思想；分析法；等差数列与等比数列；平面向量及应用．‎ ‎【分析】（1）由题意可得，||≥|+|，运用向量的坐标运算和模的公式，解不等式即可得到所求范围；‎ ‎（2）是“h向量”．求得向量的模，讨论n为奇数和偶数，运用等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得，||≥|+|，又=（n，n+x），‎ 即为≥，‎ 解得﹣2≤x≤0，‎ 即x的范围是[﹣2，0]；‎ ‎（2）是“h向量”．‎ 理由： =（1，﹣1），||=，‎ 当n为奇数时， ++…+=（，0）=（，0），‎ ‎0≤＜，即有|++…+|=＜＜，‎ 即||＞|++…+|；‎ 第22页（共22页）‎ 当n为偶数时， ++…+=（，1）=（，1），‎ ‎0≤＜，即有|++…+|=＜＜，‎ 即|＞|++…+|．‎ 综上可得，是向量组（n∈N*）的“h向量”．‎ ‎【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查向量的模的公式的运用，以及等比数列的求和公式的运用，考查推理能力和运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．等差数列{xn}的前n项和记为Sn，等比数列{bn}的前n项和记为Tn，已知x3=5，S3为9，b2=x2+1，∅（lim，n→∞） Tn=16．‎ ‎（1）求数列{xn}的通项xn；‎ ‎（2）设Mn=lgb1+lgb2+…+lgbn，求Mn的最大值及此时的n的值；‎ ‎（3）判别方程sin2xn+xncosxn+1=Sn是否有解，说明理由．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；数列的应用．‎ ‎【分析】（1）先求出两个基本量x1和d．再求通项公式．‎ ‎（2）注意到lgbn是等差数列，再根据等差数列前n项和是二次函数的知识去解题．‎ ‎（3）判断方程无解时注意到范围的限制，可分情况讨论之．‎ ‎【解答】解：（理）（1）⇒‎ 解得 ‎∴xn=2n﹣1‎ ‎（2）由题意，b2=4=b1q结合无穷等比数列各项和， =16，解得 易得bn=8n﹣1‎ 而{lgbn}是以lg8为首相，lg0.5为公差的等差数列，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴Mn=lg8×n+0.5n（n﹣1）lg0.5﹣lg0.5=﹣0.5lg2[（n﹣3.5）2﹣49/4]‎ ‎∴n=3或4时有最大值6lg2；‎ ‎（3）sin2（2n﹣1）+（2n﹣1）cos（2n﹣1）+1=n2‎ ‎1°n=1时，sin21+cos1=0不成立 ‎2°n=2时，sin23+3cos3+1=4，1﹣cos23+3cos3+1=4，解得cos3=1或cos3=2不成立 ‎3°n≥3放缩法sin2（2n﹣1）+（2n﹣1）cos（2n﹣1）+1＜1+2n﹣1+1＜1+2n＜n2‎ 综上，无解．‎ ‎【点评】本题中考查了等比数列和等差数列的基本知识点及两者的联系．第三问是对不等式放缩的运用技巧，根据所求结论的形式进行放缩．‎ ‎　‎ 第22页（共22页）‎