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- 2023-12-14 发布
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小专题14 教材P124复习题T13的变式与应用
【教材母题】 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DE＝DB.
证明：连接BE，由点E是△ABC的内心可知∠BAD＝∠CAD.
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD.
又∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠BAD＋∠ABE＝∠CBE＋∠CBD.
∴∠BED＝∠EBD.
∴DE＝DB.
【问题延伸1】 写出∠BED与∠C的关系：∠BED＝90°－∠C．
【问题延伸2】 设AD交BC于点F，AD为△ABC外接圆的直径，G为AB上一点，且∠ADG＝∠C.若BG＝3，AG＝5，求DE的长．
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解：易证AD垂直平分BC，
∵∠ADG＝∠C＝∠ADB，
∴DG平分∠ADB.
由(1)知BD＝DE，∴DG垂直平分BE.连接GE，∴BG＝GE，∠DEG＝∠DBG＝90°.
∵BG＝3，AG＝5，∴GE＝3.∴AE＝4.
设BD＝DE＝x，则x2＋82＝(x＋4)2，解得x＝6.
∴DE＝6.
1．(临沂中考)如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
解：(1)解答同教材母题解答．
(2)连接DC，∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径．∴∠BDC＝90°.
∵∠BAD＝∠CAD，BD＝4，
∴BD＝CD＝4.
∴BC＝＝4.
∴外接圆的半径为2.
2．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，点M为△
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ABC的内心．
(1)求证：BC＝DM；
(2)若DM＝5，AB＝8，求OM的长．
解：(1)证明：连接MC，DB，DC.
∵点M为△ABC的内心，
∴MC平分∠ACB.
∴∠ACM＝∠BCM.
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°.
∴∠DBC＝∠BCD＝45°.
∴△BDC为等腰直角三角形．
∴BC＝DC.
又∵∠DMC＝∠MAC＋∠ACM＝45°＋∠ACM，
而∠DCM＝∠BCD＋∠BCM＝45°＋∠BCM，
∴∠DMC＝∠DCM.
∴DC＝DM.
∴BC＝DM.
(2)作MF⊥BC于点F，ME⊥AC于点E，MH⊥AB于点H，连接OM.
∵DM＝5，
∴BC＝DM＝10.
而AB＝8，
∴AC＝＝6.
设△ABC的内切圆半径为r，
∵点M为△ABC的内心，
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∴MH＝ME＝MF＝r.
∴四边形AHME为正方形．
∴AH＝AE＝r，则CE＝CF＝6－r，
BH＝BF＝8－r.
而BF＋FC＝BC，
∴8－r＋6－r＝10，计算得出r＝2.
∴MF＝2，CF＝6－2＝4，
∵OC＝5，
∴OF＝5－4＝1.
在Rt△OMF中，OM＝＝.
小专题15 与圆的切线有关的计算与证明
1．(怀化中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.
(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)请你判断(1)中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
解：(1)如图所示，⊙P为所求的圆．
(2)BC与⊙P相切，
理由：过P作PD⊥BC，垂足为D，
∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，
∴PD＝PA.
∵PA为⊙P的半径，
∴BC与⊙P相切．
2．(永州中考)如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙
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O于点E，且使∠PCA＝∠ABC.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若∠P＝60°，PC＝2，求PE的长．
解：(1)证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCO＋∠ACO＝90°.
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO.
∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠BCO＝∠ACP.
∴∠ACP＋∠OCA＝90°.
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.
∵OC为⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
(2)∵∠P＝60°，PC＝2，∠PCO＝90°，
∴OC＝2，OP＝2PC＝4.
∴PE＝OP－OE＝OP－OC＝4－2.
3．(黄石中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至点F，使得BD＝DF，连接CF，BE.求证：
(1)DB＝DE；
(2)直线CF为⊙O的切线．
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证明：(1)∵E为△ABC的内心，
∴∠DAC＝∠DAB，∠CBE＝∠EBA.
又∵∠DBC＝∠DAC，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∠DEB＝∠EAB＋∠EBA，
∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.
(2)连接OD.
∵BD＝DF，O是BC的中点，
∴OD∥CF.
又∵BC为⊙O的直径，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠DBO＝∠DAC＝45°.
∴∠BCF＝∠BOD＝90°.
∴OC⊥CF.
又OC为⊙O的半径，∴直线CF为⊙O的切线．
4．(北京中考)如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.
(1)求证：AC∥DE；
(2)连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．
解：(1)证明：∵ED与⊙O相切于点D，
∴OD⊥DE.
∵F为弦AC的中点，
∴OD⊥AC.∴AC∥DE.
(2)①连接AD，易知AD＝AO，
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又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，且边长为a.
∴可以进一步求出△AOD的面积为a2；
②根据点A是EO中点，可知△EOD的面积是△AOD面积的2倍，∴可得△EOD的面积为a2；
③等量代换可得四边形ACDE的面积为a2.
5．如图所示，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN＝45°，过C的直线与⊙O，MN分别交于A，D两点，过C作CE⊥BD于点E.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若∠D＝30°，BD＝2＋2，求⊙O的半径r.
解：(1)证明：连接OB，OC.
∵MN是⊙O的切线，
∴OB⊥MN.
∵∠CBN＝45°，
∴∠OBC＝45°，∠BCE＝45°.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.
∴∠OCE＝90°.
又∵点C在⊙O上，
∴CE是⊙O的切线．
(2)∵OB⊥BE，CE⊥BE，OC⊥CE，
∴四边形BOCE是矩形．
又∵OB＝OC，∴四边形BOCE是正方形．
∴BE＝CE＝OB＝OC＝r.
在Rt△CDE中，∵∠D＝30°，CE＝r，∴DE＝r.
∵BD＝2＋2，∴r＋r＝2＋2.解得r＝2.
即⊙O的半径为2.
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6．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.
(1)如图1，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；
(2)如图2，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
解：(1)连接OC.
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥l.
又∵AD⊥l，
∴AD∥OC.
∴∠ACO＝∠DAC＝30°.
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO.
∴∠BAC＝∠DAC＝30°.
(2)连接BF.
∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE＝18°，∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°.
∵四边形ABFE是圆内接四边形，
∴∠AEF＋∠B＝180°.
∴∠B＝180°－108°＝72°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°.
∴∠BAF＝90°－∠B＝18°.
7．(教材P102习题T12变式)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，DE＝2，CD＝4.
(1)求证：AC平分∠BAD；
(2)求⊙O的半径R；
(3)延长AB，DC交于点F，OH⊥AC于点H.若∠F＝2∠ABH，则BH的长为2
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(直接写出)．
解：(1)证明：连接OC，
∵FD切⊙O于点C.
∴OC⊥FD.
∵AD⊥FD.∴OC∥AD.
∴∠ACO＝∠DAC.
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAO.
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB.
(2)作OG⊥AE于点G，则AG＝EG.
∴OG＝CD＝4，OC＝DG＝R.
∴EG＝R－2＝AG.
在Rt△AGO中，(R－2)2＋42＝R2，
∴R＝5.
(3)提示：连接BE，∵∠AEB＝90°.
∴BE∥DF.
∴∠F＝∠ABE＝2∠ABH.
∴BH平分∠ABE.
又∵AC平分∠BAD.
∴∠AHB＝135°.
∴△CHB是等腰三角形．
∴BC＝CH＝AH.
设BC＝x，AC＝2x，
在Rt△ABC中，x2＋(2x)2＝102，
∴x＝2，
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∴BH＝CH＝2.
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