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- 2023-12-14 发布
2016-2017学年陕西省西安一中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）
一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题3分，共36分）
1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（ ）
A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=
2．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
3．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0
C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0
4．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（ ）
A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1
5．抛物线y=4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（1，0） D．（，0）
6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A．y=﹣2x+3 B．y=﹣2x﹣3 C．y=﹣2x+1 D．y=2x+1
8．下列结论正确的是个数为（ ）
①y=ln2 则y′=；
②y= 则y′=
③y=e﹣x 则y′=﹣e﹣x；
④y=cosx 则y′=sinx．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（1），则f′（1）的值等于（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
11．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ）
A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1
12．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．焦点在y轴的椭圆x2+ky2=1的长轴长是短轴长的2倍，那么k等于 ．
14．函数f（x）=+lnx的导函数是f′（x），则f′（﹣1）= ．
15．椭圆的左右焦点为F1，F2，b=4，离心率为，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 ．
16．函数f（x）=xlnx的减区间是 ．
17．设F1、F2是椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为 ．
三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
19．已知p：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立，q：椭圆+=1的焦点在x轴上，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
20．设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
21．过点（0，4），斜率为﹣1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为4．
（1）求p的值；
（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．
2016-2017学年陕西省西安一中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题3分，共36分）
1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（ ）
A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．
【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．
故选C．
2．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．
【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．
根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．
故选D．
3．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0
C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0
【考点】命题的否定．
【分析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．
【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题
∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0
故选C．
4．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（ ）
A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．
【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；
由B可得焦点在x轴上，不符合条件；
由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；
由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．
故选C．
5．抛物线y=4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（1，0） D．（，0）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．
【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，），
故选B．
6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），
双曲线的方程为
故选D
7．曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A．y=﹣2x+3 B．y=﹣2x﹣3 C．y=﹣2x+1 D．y=2x+1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】对函数求导，由导数的几何意义可求曲线在点（1，﹣1）处的切线斜率k，进而可求切线方程
【解答】解：对函数求导可得，
由导数的几何意义可知，曲线在点（1，﹣1）处的切线斜率k=﹣2
曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为y+1=﹣2（x﹣1）即y=﹣2x+1
故选C
8．下列结论正确的是个数为（ ）
①y=ln2 则y′=；
②y= 则y′=
③y=e﹣x 则y′=﹣e﹣x；
④y=cosx 则y′=sinx．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】导数的运算．
【分析】根据导数的公式进行判断即可．
【解答】解：①y=ln2 则y′=0，故①错误；
②y= 则y′=，正确，故②正确，
③y=e﹣x 则y′=﹣e﹣x；正确，故③正确，
④y=cosx 则y′=﹣sinx．故④错误，
故正确的有2个，
故选：B
9．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程得，
相减得，
∴．
∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2， ==．
∴，
化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．
∴椭圆E的方程为．
故选D．
10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（1），则f′（1）的值等于（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
【考点】导数的运算．
【分析】对f（x）求导，将x=1代入导函数求出．
【解答】解：∵f（x）=x2+3xf′（1），∴f′（x）=2x+3f′（1）．
∴当x=1时有f′（1）=2+3f′（1）．解得f′（1）=﹣1．
故选：D．
11．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ）
A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0），利用e=，即可求得椭圆方程．
【解答】解：由题意，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上
∴，
∵e=，∴，
∴a2=4b2
∴a2=20，b2=5
∴椭圆方程为+=1．
故选D．
12．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）
【考点】导数的运算．
【分析】构造函数F（x）=f（x）﹣（3x+4），由f（﹣1）=1得F（﹣1）的值，求F（x）的导函数，根据f′（x）＞3，得F（x）在R上为增函数，
根据函数的单调性得F（x）大于0的解集，从而得所求不等式的解集．
【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（3x+4），
则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣3+4）=1﹣1=0，
又对任意x∈R，f′（x）＞3，∴F′（x）=f′（x）﹣3＞0，
∴F（x）在R上是增函数，
∴F（x）＞0的解集是（﹣1，+∞），
即f（x）＞3x+4的解集为（﹣1，+∞）．
故选：B．
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．焦点在y轴的椭圆x2+ky2=1的长轴长是短轴长的2倍，那么k等于
．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据题意，将椭圆的方程变形为=1，由其焦点的位置可得a=，b=1，结合题意，其长轴长是短轴长的2倍，则有2=2×2，解可得k的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆的方程为x2+ky2=1，
变形可得=1，
又由其焦点在y轴上，则＞1，且a=，b=1，
若其长轴长是短轴长的2倍，则有2=2×2，
解可得k=，
故答案为：．
14．函数f（x）=+lnx的导函数是f′（x），则f′（﹣1）= ．
【考点】导数的运算．
【分析】求函数的导数，令x=﹣1，即可得到结论．
【解答】解：f（x）=+lnx=﹣+lnx，
则f（x）的导数f′（x）=﹣+，
则f′（﹣1）==，
故答案为：．
15．椭圆的左右焦点为F1，F2
，b=4，离心率为，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 20 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆性质列出方程组，求出a，再由椭圆定义得△ABF2的周长为4a，由此能求出结果．
【解答】解：∵椭圆的左右焦点为F1，F2，b=4，离心率为，
∴，解得a=5，b=4，c=3，
∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，
∴△ABF2的周长为4a=20．
故答案为：20．
16．函数f（x）=xlnx的减区间是 ．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求定义域，再令导数≤0解不等式，取交集可得．
【解答】解：由题意函数的定义域为（0，+∞），
求导数可得f′（x）=x′lnx+x（lnx）′
=1+lnx，令f′（x）=1+lnx≤0，
解之可得x≤
故函数的减区间为：
故答案为：
17．设F1、F2是椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为
．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：设x=交x轴于点M，
∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形
∴∠PF2F1=120°，|PF2|=|F2F1|，且|PF2|=2|F2M|
∵P为直线x=上一点，
∴2（﹣c）=2c，解之得3a=4c
∴椭圆E的离心率为e==
故答案为：
三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．
【解答】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…
由e==，得1﹣=，∴a=5，…
∴椭圆C的方程为+=1．…
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…
设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…
由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…
19．已知p：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立，q：椭圆+=1的焦点在x轴上，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别判断出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，取并集即可．
【解答】解：∵p：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立，
∴△=m2﹣6＜0，解得：﹣＜m＜；
q：椭圆+=1的焦点在x轴上，
∴m﹣1＞3﹣m＞0，解得：2＜m＜3，
若“p或q”为真，“p且q”为假，
则：p，q一真一假，
p真q假时：，解得：﹣＜m＜2，
p假q真时：，解得：≤m＜3，
故m的范围是（﹣，2）∪[，3）．
20．设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（x））处在直线y=8相切，建立方程组，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）f′（x）=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2），令f′（x）＞0，可得函数的单调增区间；令f′（x）＜0，可得函数的单调减区间．
【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣3a
∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处在直线y=8相切
∴，
∴a=4，b=24
（Ⅱ）f′（x）=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2）
令f′（x）＞0，可得x＜﹣2或x＞2；
令f′（x）＜0，可得﹣2＜x＜2
∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（2，+∞），单调减区间为（﹣2，2）．
21．过点（0，4），斜率为﹣1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为4．
（1）求p的值；
（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，计算弦|AB|的长度，即可求p的值；
（2）证明x1x2+y1y2=0，即可得到OA⊥OB．
【解答】（1）解：直线方程为y=﹣x+4，联立方程消去y得，x2﹣2（p+4）x+16=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2=2（p+4），x1x2=16，△=4（p+2）2﹣64＞0．
所以|AB|=|x1﹣x2|==4，所以p=2．
（2）证明：由（1）知，x1+x2=2（p+4）=12，x1x2=16，
∴y1y2=（﹣x1+4）（﹣x2+4）=﹣8p=﹣16
∴x1x2+y1y2=0，∴OA⊥OB．