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- 2023-12-13 发布
高三年级适应性测试卷
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3.设向量，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4.在中，分别是角的对边，若，的面积为，则边的值为（ ）
A． B． C. D．
5.美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一.美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有带变形的.程序框图如图所示，若输入的值分别为（每次运算都精确到小数点后两位），则输出结果为（ ）
A． B． C. D．
6.已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（ ）
A． B．
C. D．
7.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积等于（ ）
A． B． C. D．
8.三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，又，则球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
9.给出下列几个命题：
①命题：任意，都有，则：存在，使得；
②已知，若成立，且，则；
③空间任意一点和三点，则是三点共线的充分不必要条件；
④线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点中的一个.
其中正确的个数为（ ）
A． B． C. D．
10.如图，把周长为的圆的圆心放在轴上，点在圆上，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记弧，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C. D．
11.双曲线的右焦点为，为其左支上一点，线段
与双曲线的一条渐近线相交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数的定义域为，，对任意，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.的展开式中各项系数和为，则的系数为 ．（用数字填写答案）
14.记集合，构成的平面区域分别为，现随机地向中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入中的概率为 ．
15.已知各项均为正数的等比数列，满足，若存在使得，则的最小值为 ．
16.已知当，表示不超过的最大整数，称为取整函数，例如，若，且偶函数，则方程的所有解之和为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列是首项为的单调递增的等比数列，且满足成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和，并证明.
18. 某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛.规定：第一阶段知识测试成绩不小于分的学生进入第二阶段比赛.现有
名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图.
（1）估算这名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；
（2）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛.现甲、乙两队在比赛中均已获得分，进入最后强答阶段.抢答规则：抢到的队每次需猜条谜语，猜对条得分，猜错条扣分.根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对每条谜语的概率均为，猜对第条的概率均为.若这两条抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？
19. 如图，在以为顶点的多面体中，平面，平面，，.
（1）请在图中作出平面，使得，且，并说明理由；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
20. 已知两点，动点在轴上的投影是，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过作互相垂直的两条直线交轨迹于，且分别是的中点.求证：直线恒过定点.
21. 已知函数.
（1）函数，若是的极值点，求的值并讨论的单调性；
（2）函数有两个不同的极值点，其极小值为，试比较与的大小关系，并说明理由.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程式，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：（是参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若直线与曲线相交于两点，且，试求实数的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若方程有三个实数，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题
1-5.CDBDD 6-10.DBAAD 11-12CC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）由得，
而，得，
数列是首项为1的单调递增的等比数列，
所以，.
（2）由 ①，
得 ②，
①-②得，
化简得，
所以.
18. 解：（1）设测试成绩的中位数为，由频率分布直方图得，
，
解得：．
∴测试成绩中位数为．
进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．
（2）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为、，
则，
∴．
∴最后抢答阶段甲队得分的期望为，
∵，，
，，
∴， m]
∴最后抢答阶段乙队得分的期望为．
∴，
∴支持票投给甲队．
19. 解：（1）如图，取中点，连接，则平面即为所求的平面，
显然，以下只需证明平面；
∵，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
∵平面，平面，
∴.
又平面，平面，
∴平面，
又平面，平面，，
∴平面平面.
又平面，
∴平面，即平面.
（2）过点作并交于，
∵平面，
∴，即两两垂直，
以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.
在等腰梯形中，∵，
∴，
则.
∵，∴，
∴.
设平面的法向量，
由，得，
取，可得平面的一个法向量.
设直线和平面所成角为，
又∵，
∴，
故直线和平面所成角的正弦值为.
20.（1）设点坐标为，∴点坐标为，
∵，
∴，
∴点的轨迹方程为.
（2）当两直线的斜率都存在且不为时，设,,
,,
联立方程得，，，∴恒成立,
∴，
∴中点坐标为，
同理，中点坐标为，
∴，
∴的方程为，∴过点.
当两直线的斜率分别为和不存在时，的方程为，也过点
综上所述，过定点.
21. 解:（1） ，
，
因为是的极值点，所以，得，，
此时,,
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
（2），
，
因为有两个不同的极值点，所以在有两个不同的实根，
设此两根为，，且．
，即解得．]
与随的变化情况如下表：
+
—
+
极大值
极小值
由表可知，
因为，所以代入上式得：
，所以，
因为，且，所以．
令，则，
当时，，即在单调递减，
所以当时，有，
即．
22.（1）曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为:.
直线的直角坐标方程为：.
（2）（法一）由（1）知：圆心的坐标为，圆的半径，
∴圆心到直线的距离，
∴，
∴或.
（法二）把（是参数）代入方程,
得,
∴.
∴.
∴或.
23.（1）∵时，.
∴当时，，不可能非负，
当时，，由可解得，于是.
当时，恒成立.
∴不等式的解集为.
（2）由方程可变形为.
令，
作出图象如图所示.