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- 2023-12-12 发布
课时分层训练(六十八) 参数方程
1．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R).
【导学号：01772442】
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
[解] (1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.2分
由ρsin＝m，得ρsin θ－ρcos θ－m＝0，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.4分
(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，8分
即＝2，
解得m＝－3±2.10分
2．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ.
【导学号：01772443】
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|.
[解] (1)由ρsin2θ＝8cos θ，得ρ2sin2θ＝8ρcos θ，
故曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.4分
(2)将直线l的方程化为标准形式6分
代入y2＝8x，并整理得3t2－16t－64＝0，t1＋t2＝，t1t2＝－.8分
所以|AB|＝|t1－t2|＝＝.10分
3．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
[解] (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.4分
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.8分
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝
＝.
由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.
所以l的斜率为或－.10分
4．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
[解] (1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π).4分
(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.8分
故D的直角坐标为，
即.10分
5．(2017·湖北七市三联)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos(a＞0)．
(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)；
(2)若直线l与C2相切，求a的值．
[解] (1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－，]，直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，
联立解得或(舍去)．
故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1,1)，其极坐标为.4分
(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，即
(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a＞0).8分
由直线l与C2相切，得＝a，故a＝1.10分
6．(2017·福州质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.
(1)求C的普通方程和l的倾斜角；
(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.
[解] (1)由消去参数α，得＋y2＝1，
即C的普通方程为＋y2＝1.2分
由ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)
将代入(*)，化简得y＝x＋2，
所以直线l的倾斜角为.4分
(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，
即(t为参数)，
代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，
Δ＝(18)2－4×5×27＝108＞0，8分
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－＜0，t1t2＝＞0，所以t1＜0，t2＜0，
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.10分