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- 2023-12-12 发布
甘肃省2017年高三第二次高考诊断考试
理科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设是虚数单位，如果复数，其实部与虚部互为相反数，那么实数（ ）
A． -3 B． 3 C． D．
3．抛掷两枚骰子，记事件 为“朝上的2个数之和为偶数”，事件为“朝上的2个数均为偶数”，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． 2 B． C． D．
5．圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，四面体的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）
A．①②⑥ B．①②③ C． ④⑤⑥ D．③④⑤
7．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元（红包中金额相同视为相同红包），则甲、乙都抢到红包的情况有（ ）
A． 18种 B． 24种 C． 36种 D．48种
8．某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图中记录了每天的销售量（单位：台），把这些数据经过如图所示的程序处理后，输出的（ ）
A． 28 B． 29 C． 196 D．203
9．已知三棱锥的各顶点都在一个球面上，所在截面圆的圆心在上，面，，，若三棱锥的体积是，则球体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
10．已知的三角形所对的边分别为，下列条件中，能使得的形状唯一确定的是（ ）
①；②，；③，，；④，．
A．①③ B．①②③ C． ①② D．②③④
11．若是函数图象上的动点，点，则直线
斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．若直线和直线相交于一点，将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为，则角就叫做到的角，，其中分别是的斜率，已知双曲线：的右焦点为，是右顶点，是直线上的一点，是双曲线的离心率，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量，，，则 ．
14．已知，则 ．
15．已知的展开式中的系数为，的系数为，若，则 ．
16．已知，，记在的最大值为，则数列的最大项是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 已知等差数列中，，，数列中，，其前项和满足：．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18． 甘肃省瓜州县自古就以盛产“美瓜”而名扬中外，生产的“瓜州蜜瓜”
有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%-19%，是消暑止渴的佳品，有诗赞曰：冰泉浸绿玉，霸刀破黄金；凉冷消晚署，清甘洗渴心，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度、日照时长、温差有极强的相关性，分别用表示蜜瓜甜度与海拔高度、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标的值评定蜜瓜的等级，若，则为一级；若，则为二级；若，则为三级．近年来，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：
（1）若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为一级的蜜瓜种植地的数量；
（2）在所取样本的二级和三级蜜瓜种植地中任取2块，表示取到三级蜜瓜种植地的数量，求随机变量的分布列及数学期望．
19． 如图，在中，，点分别在上，，，沿将翻折起来，使得点到的位置，满足．
（1）证明：平面；
（2）若，，求二面角的正弦值．
20． 已知椭圆：的左、右焦点分别为，其离心率，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线相切．
（1）求的方程；
（2）过的直线交于两点，为的中点，连接并延长交于点
，若四边形的面积满足：，求直线的斜率．
21． 已知函数（且为常数）．
（1）当时，讨论函数在的单调性；
（2）设可求导数，且它的导函数仍可求导数，则再次求导所得函数称为原函数的二阶函数，记为，利用二阶导函数可以判断一个函数的凹凸性．一个二阶可导的函数在区间上是凸函数的充要条件是这个函数在的二阶导函数非负．
若在不是凸函数，求的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线（为参数），曲线（为参数）．
（1）试判断与的位置关系；
（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．
23．选修4-5：不等式选讲
设函数，．
（1）解不等式；
（2）对于实数，若，，证明：．
2017年甘肃省第二次高考诊断理科数学试题参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． D 2． B 3． D 4． C 5． B 6． B 7． C 8． B 9． D 10． A 11． A 12． C
11．解析：
，
所以在单调递减, 在单调递增,
所以所以
12．解析: 由对称性,不妨设点位于第一象限,
即可设点的坐标为,
由题知,
所以
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13． 14． 15． 16．
16． 解析：
因为 所以在
是减函数． 所以 令 由于在是减函数，所以数列是个递减的数列，故
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解:(I)
①
②
①-②得,
为等比数列,
(II)由
两式相减，得
18． 解：（I）计算10块种植地的综合指标，可得下表：
编号
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
综合指标
1
5
2
4
3
4
6
1
5
3
由上表可知：等级为一级的有5个，其频率为．
用样本的频率估计总体的频率，可估计等级为一级的蜜瓜种植地数量为
（II）二级和三级蜜瓜种植地有5块, 三级蜜瓜种植地有2块,
则X的所有可能取值为0, 1, 2．
所以随机变量的分布列为
从而
19． 解析：(I)在中, 设
在中,
(II)
由(1)知, 以B为坐标原点, 建立如图所示坐标系B-xyz,
则
设是平面PDE的法向量，则 所以
令 得，
同理, 可知平面PEC的一个法向量
则
设二面角的平面角为,由图可知为钝角，即
20． 解:（I）由题意得, 故椭圆的方程为．
(II)由于直线的倾斜角不可为零，所以设直线的方程为,
与联立可得
设则 可得
设, 又 所以 因为在上, 故
--------------------①
设为点到直线的距离,为点到直线的距离,则
又由点到直线的距离公式得,
而 所以
由题意知, 所以 将代入①式
21． 解：(I) 令 得
设 则
当时，，在上是单调增函数，
故而，是在内的唯一零点，即是在内的唯一零点．
所以当时，，即在上是单调减函数;
当时，，即在上是单调增函数．
(II)
如果在是凸函数，那么 都有
令 即得
当时， 当时，
即在单调递增，在单调递减， 所以
即 又在不是凸函数，所以
22．解： （I）
所以直线与曲线相离．
（II）变化后的曲线方程是 设点
则点到直线的距离是
故点到直线的距离的最小值为
23． 解：（I）解不等式
①当时，原不等式可化为 可得 所以
②当时，原不等式可化为 可得 所以
③当时，原不等式可化为 可得 所以
由①②③可知，不等式的解集为
（II）
当且仅当 时等号成立．
也可用线性规划得出结论．