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- 2023-12-08 发布
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[基础题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C.因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B．
C. D．
解析：选B.设a与b的夹角为α，
因为(a－b)⊥b，
所以(a－b)·b＝0，
所以a·b＝b2，
所以|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，
所以cos α＝，因为α∈(0，π)，所以α＝.故选B.
3．(2020·河北衡水模拟三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2，4)，则“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得(1，k)·(2，4)＝0，解得k＝－，所以“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要条件．故选 C.
4.(2020·河南安阳二模)如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若＝－7，3＝，则·＝( )
A．11 B．10
C．－10 D．－11
解析：选D.
以A为坐标原点，建立直角坐标系如图所示．
则A(0，0)，B(4，0)，E(1，4)，F(5，1)，所以＝(5，1)，＝(－3，4)，则·＝－15＋4＝－11.故选D.
5．已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为( )
A. B．
C．6 D．4
解析：选A.因为向量||＝3，||＝2，＝m＋n，与夹角为60°，所以·＝3×2×cos 60°＝3，
所以·＝(－)·(m＋n)
＝(m－n)·－m||2＋n||2
＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以＝，故选A.
6．(2020·河南郑州一模)已知e1，e2为单位向量且夹角为，设a＝3e1＋2e2，b＝3e2，则a在b方向上的射影为________．
解析：根据题意得，a·b＝9e1·e2＋6e＝9×1×1×＋6＝－＋6＝，又因为|b|＝3，所以a在b方向上的射影为＝＝.
答案：
7．(2020·江西临川九校3月联考)已知平面向量a＝(2m－1，2)，b＝(－2，3m－2)，且a⊥b，则|2a－3b|＝________．
解析：因为a⊥b，所以a·b＝－2(2m－1)＋2(3m－2)＝0，解得m＝1，
所以a＝(1，2)，b＝(－2，1)，所以2a－3b＝(2，4)－(－6，3)＝(8，1)，
所以|2a－3b|＝＝.
答案：
8．(2020·石家庄质量检测(一))已知与的夹角为90°，||＝2，||＝1，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________．
解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以＝(0，2)，＝(1，0)，＝(1，－2)．设M(x，y)，则＝(x，y)，所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，
所以x＝μ，y＝2λ，
所以＝＝.
答案：
9．已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.
(1)若m⊥n，求角α；
(2)若|m－n|＝，求cos 2α的值．
解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，
即为－sin α(sin α－2)－cos2 α＝0，
即sin α＝，
可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z.
(2)若|m－n|＝，即有(m－n)2＝2，
即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2，
即为4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2，
即有8－8sin α＝2，
可得sin α＝，
即有cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解：(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)法一：由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．
由(－t)·＝0，得：
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－.
法二：·＝t2，＝(3，5)，
t＝＝－.
[综合题组练]
1．(2020·安徽滁州一模)△ABC中，AB＝5，AC＝10，·＝25，点P是△ABC内(包括边界)的一动点，且＝－λ(λ∈R)，则||的最大值是( )
A. B．
C. D．
解析：选B.△ABC中，AB＝5，AC＝10，·＝25，所以5×10×cos A＝25，cos A＝，
所以A＝60°，BC＝＝5，因为AB2＋BC2＝AC2，所以B＝90°.以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，
则A(0，0)，B(5，0)，C(5，5)，设点P为(x，y)，0≤x≤5，0≤y≤5，
因为＝－λ，
所以(x，y)＝(5，0)－λ(5，5)＝(3－2λ，－2λ)，
所以所以y＝(x－3)，直线BC的方程为x＝5，
联立解得此时||最大，为＝.故选B.
2.(2020·广东广雅中学模拟)如图所示，等边△ABC的边长为2，AM∥BC，且AM＝6.若N为线段CM的中点，则·＝( )
A．24 B．23
C．22 D．18
解析：选B.法一：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，)，因为△ABC为等边三角形，且AM∥BC，所以∠MAB＝120°，所以M(－3，3)．因为N是CM的中点，所以N(－1，2)，所以＝(－1，2)，＝(－5，3)，所以·＝23.
法二：依题意知||＝||＝2，与的夹角为60°，
且＝3，＝(＋)＝(3＋)＝(－)＋＝2－.
＝－＝3－＝3(－)－＝3－4.则·＝·(3－4)＝6＋6－8·－·＝23.
3.如图，AB是半圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·＝________．
解析：连接AP，BP，则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5.
答案：5
4．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是________．
解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－)2－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值为－.
答案：－
5．(创新型)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
解：(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，
sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，
所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，
所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos ∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝absin ∠ACB＝2.
