数学文卷·2018届河南省信阳市第六高级中学高二（新高三）7月摸底考试（2017 9页

绝密★启用前 ‎2016—2017学年度下期 高二文科数学 注意事项：‎ 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．‎ 请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1、已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩∁RB=（　　）‎ A.{x|x≤0} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x＜1或x＞2} D.{x|0≤x＜1或x≥2}‎ ‎2、设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（　　）‎ A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i ‎3、已知a∈R，则“a＜‎0”‎是“|x|+|x+1|＞a恒成立”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4、一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（　　）‎ A．13，12 B．13，‎13 ‎C．12，13 D．13，14‎ ‎5、已知向量，，且，则等于（ ）‎ A. 1 B. ‎3 C. 4 D. 5‎ ‎6、如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）‎ A．a2＜ab B.﹣ab＜﹣b‎2 ‎C． D．‎ ‎7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎8、执行如图（左边7题右下）所示的程序框图，输出n的值为（　　）‎ A．19 B．‎20 ‎C．21 D．22‎ ‎9、已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A．2 B．‎4 ‎C．﹣4 D．1‎ ‎10、过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F，作圆x2+y2=的一条切线，切点为E，延长FE与双曲线的右支交于点P，若E是线段FP的中点，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11、曲线y=4x﹣x3，在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（　　）‎ A．y=7x+4 B．y=x﹣‎4 ‎C．y=7x+2 D．y=x﹣2‎ ‎12、设函数f（x）=exsinπx，则方程xf（x）=f'（x）在区间（﹣2014，2016）上的所有实根之和为（　　）‎ A．2015 B．‎4030 ‎C．2016 D．4032‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13、已知实数x，y满足，则的取值范围是　　 ．‎ ‎14、曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为　　 ．‎ ‎15、已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为_________ ．‎ ‎16、已知函数f（x）=x3+bx2+cx，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示．则下列说法中不正确的编号是　 　．（写出所有不正确说法的编号）‎ ‎（1）当x=时函数取得极小值；（2）f（x）有两个极值点；‎ ‎（3）c=6； （4）当x=1时函数取得极大值．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21‎ 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求 作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17、（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（，1），=（cosA+1，sinA），且•的值为2+．‎ ‎（1）求∠A的大小；‎ ‎（2）若a=，cosB=，求△ABC的面积．‎ ‎18、（12分）如图所示，正三角形所在平面与梯形所在平面垂直，，，‎ 为棱的中点.‎ ‎（1）求证:平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成的角为30°，‎ 求三棱锥的体积.‎ ‎19、（12分）、某校开展“翻转合作学习法”教学实验，经过一年的实践后，对“翻转班”和“对照班”的全部220名学生的数学学习情况进行测试，按照大于或等于120分为“成绩优秀”，120分以下为“成绩一般”统计，得到如下的2×2列联表． ‎ ‎ 成绩优秀 ‎ 成绩一般 ‎ 合计 ‎ 对照班 ‎ 20‎ ‎ 90‎ ‎ 110‎ ‎ 翻转班 ‎ 40‎ ‎ 70‎ ‎ 110‎ ‎ 合计 ‎ 60‎ ‎ 160‎ ‎ 220‎ ‎（Ⅰ）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关；‎ ‎（Ⅱ）为了交流学习方法，从这次测试数学成绩优秀的学生中，用分层抽样方法抽出6名学生，再从这6名学生中抽3名出来交流学习方法，求至少抽到一名“对照班”学生交流的概率．‎ 附：：‎ ‎ P（K2≥k0）‎ ‎ 0.10‎ ‎ 0.05‎ ‎ 0.025‎ ‎ 0.010‎ ‎ 0.005‎ ‎ 0.001‎ ‎ k0‎ ‎ 2.706‎ ‎ 3.841‎ ‎ 5.024‎ ‎ 6.635‎ ‎ 7.879‎ ‎ 10.828‎ ‎20、（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，﹣1），‎ 离心率e=．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过M（0，m）（﹣1＜m＜0）的直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线L如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出m的值及点T的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21、（12分）已知函数f（x）=x2﹣4x+2（1﹣a）lnx，（a∈R且a≠0）．‎ ‎（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）在区间[e，+∞）上的最小值．‎ 四、选考题：共10分。请考生在地22、23题中任选一题作答。如多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22、(10分)已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；‎ ‎（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．‎ ‎23、(10分)已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥4的解集；‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，|f（x）|≤2恒成立，求a的取值范围．‎ 高二文科试卷答案 一、选择题1.C 2.B 3.A 4.B 5. D 6.B 7.A 8.B 9.C 10.A 11.D 12.B 二、填空题 ‎13.[1，] 14. 15.6 16.（1）‎ 三、解答题 ‎17.【解答】解：（1）∵=2+．‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴由，得，‎ ‎∴．‎ ‎18、‎ ‎（2）取中点，连接，‎ 易知平面，∴与平面所成的角为，‎ ‎∵中，，∴，‎ ‎∵为正三角形，为的中点，‎ ‎∴且，‎ ‎∵平面平面，∴平面，‎ 又∵为的中点，∴点到平面的距离为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎19.【解答】解：（Ⅰ）根据列联表中的数据，计算 K2=≈9.167＜10.828，‎ 对照临界值表知，不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下 认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关；‎ ‎（Ⅱ）这次测试数学成绩优秀的学生中，对照班有20人，翻转班有40人，‎ 用分层抽样方法抽出6人，对照班抽2人，记为A、B，翻转班抽4人记为c、d、e、f；‎ 再从这6人中抽3人，基本事件是 ABc、ABd、ABe、ABf、Acd、Ace、Acf、Ade、Adf、Aef、‎ Bcd、Bce、Bcf、Bde、Bdf、Bef、cde、cdf、cef、def共20种不同取法；‎ 至少抽到一名“对照班”学生的基本事件是 ABc、ABd、ABe、ABf、Acd、Ace、Acf、Ade、Adf、Aef、‎ Bcd、Bce、Bcf、Bde、Bdf、Bef共16种，‎ 故所求的概率为P==．‎ ‎20、【解答】解：（1）由题意，b=1， =，‎ ‎∴a=2，b=1，c=1，‎ ‎∴椭圆C的方程为=1；‎ ‎（2）①当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2=1‎ ‎②当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=m，‎ 此时以AB为直径的圆的方程为：x2+（y﹣m）2=2（1﹣m）2，与x2+y2=1联立，得y=，‎ ‎∵（x，）在椭圆上，‎ ‎∴=1，‎ ‎∵﹣1＜m＜0，∴m=﹣，‎ ‎∴m=﹣，在椭圆上可能存在定点T（0，1）满足条件；‎ ‎③斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 与椭圆方程联立，可得（1+2k2）x2﹣kx﹣=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=﹣，‎ ‎=（k2+1）x1x2﹣k（x1+x2）+=（k2+1）（﹣）﹣k•+=0，‎ ‎∴过M（0，﹣）的直线l斜率存在时，以AB为直径的圆过定点T（0，1），‎ 综上所述，m=﹣时，过M（0，﹣）的直线无论如何转动，以AB为直径的圆过定点T（0，1）．‎ ‎21、【解答】解：（1）a=2时，f（x）=x2﹣4x﹣2lnx，‎ f′（x）=2x﹣4﹣=，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞1+或x＜1﹣（舍），‎ 令f′（x）＜0，解得：x＜1+，‎ 故f（x）在（0，1+）递减，在（1+，+∞）递增；‎ ‎（2）f′（x）=2x﹣4+=，‎ 令g（x）=（x﹣1）2﹣a，‎ ‎2＜a≤（e﹣1）2时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，‎ f（x）在[e，+∞）递增，f（x）min=f（e）=e2﹣4e+2（1﹣a），‎ a＞（e﹣1）2时，令g（x）＞0，解得：x＞1+，或x＜1﹣（舍），‎ 令g（x）＜0，解得：e＜x＜1+，‎ 故f（x）在[e，1+）递减，在（1+，+∞）递增，‎ 故f（x）min=f（1+）．‎ ‎22.【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；‎ ‎（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，‎ 过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，‎ 由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．‎ ‎23.【解答】解：（Ⅰ） 由|x+1|﹣|x﹣4|≥4得：‎ ‎①或 ②或 ③，‎ 综上所述f（x）≥4的解集为．‎ ‎（Ⅱ）∀x∈R，|f（x）|≤2恒成立，可转化为|f（x）|max≤2‎ 分类讨论 ‎①当a=4时，f（x）=0≤2显然恒成立．‎ ‎②当a＜4时，f（x）=，‎ ‎③当a＞4时，f（x）=，‎ 由②③知，|f（x）|max=|a﹣4|≤2，‎ 解得2≤a≤6且a≠4，‎ 综上所述：a的取值范围为 ．‎