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- 2023-11-29 发布
成都石室中学高二2017—2018学年度上期半期考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若抛物线的准线方程为，焦点坐标为，则抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
2.命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．不存在，
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
4.与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
5.三棱锥中，点，分别在，上，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
6.将曲线按：变换后的曲线的参数方程为（ ）
A． B． C． D．
7.设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8.如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形，，分别为，的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线与直线异面；②直线与直线异面；③直线平面；④平面平面．
其中一定正确的选项是（ ）
A．①③ B．②③ C．②③④ D．①③④
9.椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个交点，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
10.“”是“对任意的正数，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11.如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12.点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么实数的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在极坐标系中，已知两点，，则，两点间的距离为 ．
14.若，，则实数的取值范围为 ．
15.已知椭圆：的右焦点为，为直线上一点，线段交于点，若，则 ．
16.四棱锥中，面，是平行四边形，，，点为棱的中点，点在棱上，且，平面与交于点，则异面直线与所成角的正切值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在极坐标系中，极点为，已知曲线：与曲线：交于不同的两点，．
（1）求的值；
（2）求过点且与直线平行的直线的极坐标方程．
18.已知命题：实数满足，其中；命题：方程表示双曲线．
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，又知此抛物线上一点到焦点的距离为6．
（1）求此抛物线的方程；
（2）若此抛物线方程与直线相交于不同的两点、，且中点横坐标为2，求的值．
20.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，，分别为，的中点，点在线段上．
（1）求证：平面；
（2）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．
21.如图，椭圆上的点到左焦点的距离最大值是，已知点在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点且斜率为的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交椭圆于另一点．证明：对任意的，点恒在以线段为直径的圆内．
22.已知圆：和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）点是曲线与轴正半轴的交点，点，在曲线上，若直线，的斜率分别是，，满足，求面积的最大值．
成都石室中学高2019届2017—2018学年度上期半期考试数学试题（理科）答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13.4 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）∵，∴，
又∵，∴，
∴．
（2）∵曲线的斜率为1，∴过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为，
∴直线的极坐标为，即．
18.解：命题：由题得，又，解得；
命题：，解得．
（1）若，命题为真时，，
当为真，则真且真，
∴解得的取值范围是．
（2）是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，
设，，则；
∴∴实数的取值范围是．
19.解：（1）由题意设抛物线方程为（），其准线方程为，
∵到焦点的距离等于到其准线的距离，∴，∴，
∴此抛物线的方程为．
（2）由消去得，
∵直线与抛物线相交于不同两点、，则有
解得且，
由，解得或（舍去）．
∴所求的值为2．
20.（1）证明：在平行四边形中，因为，，所以．
由，分别为，的中点，得，所以.
侧面底面，且，底面.
又因为底面，所以．
又因为，平面，平面，所以平面．
（2）解：因为底面，，所以，，两两垂直，故以，，分别为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，
设（），则，所以，则
，
易得平面的法向量．
设平面的法向量为，
由，，得令，得．
因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，
所以，即，所以，
解得，或（舍）．
综上可得，.
21.解：（1）由题可知解得∴椭圆的方程是．
（2）令，，则，，∴，
直线的方程为，代入整理得，
∴，∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴对任意，点恒在以线段为直径的圆内．
22.解：（1）圆：的圆心为，半径为，
点在圆内，因为动圆经过点且与圆相切，
所以动圆与圆内切，设动圆半径为，则．
因为动圆经过点，所以，，
所以曲线是，为焦点，长轴长为的椭圆．
由，，得，所以曲线的方程为.
（2）直线斜率为0时，不合题意；
设，，直线：，
联立方程组得
，
，，
由知
，
且，代入化简得，解得，
故直线过定点，
由，解得，（当且仅当时取等号）．
综上，面积的最大值为.