2020年八年级数学下册14微专题矩形中的典型模型问题习题（新版）冀教版 3页

微专题：矩形中的典型模型问题 模型一　面积问题 ‎1．(2017·北京中考)现代数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．‎ 请根据该图完成这个推论的证明过程．‎ 证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(________＋ ________)．‎ 易知，S△ADC＝S△ABC，________＝________，‎ ‎________＝________．‎ 可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.‎ ‎2．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN.若AB＝2 ，BC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为________．‎ ‎ ‎ 第2题图 第3题图 ‎3．如图，点P是矩形ABCD内任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到的四个三角形的面积分别为S1，S2，S3，S4，其中S1＝2，S4＝6，则S3－S2＝________．‎ 模型二　矩形中根据面积法求两垂线段的定值问题 ‎4．如图，P是矩形ABCD的边AD上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F(P与A，D不重合)，若AB＝2，BC＝2，则PE＋PF的值为(　　)‎ A．2 B．‎1 C. D．无法确定 ‎ ‎ 第4题图 第5题图 ‎ 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD的中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG＋FH的值为________．‎ ‎【变式题】含角平分线，本质不同 如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且∠CBD＝∠EBD，P为对角线BD上一点，‎ 3‎ PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M.‎ (1) 求证：BE＝DE；‎ ‎(2)判断AB和PM，PN的数量关系并说明理由．‎ ‎ ‎ 模型三　矩形内部含45°角的问题 6． ‎(2017·包头中考)如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的度数为________．‎ 3‎ ‎参考答案与解析 ‎1．S△AEF　 S△FCM　 S△ANF　S△AEF　 S△FGC　 S△FMC ‎2．2 ‎3．4　解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC.设点P到AD，AB，BC，CD的距离分别为h1，h2，h3，h4，则S1＝AD·h1，S2＝AB·h2，S3＝BC·h3，S4＝CD·h4.∵AD·h1＋BC·h3＝BC·CD，AB·h2＋CD·h4＝AB·BC，∴AD·h1＋BC·h3＝AB·h2＋CD·h4，即∴S2＋S4＝S1＋S3，∴S3－S2＝S4－S1＝6－2＝4.‎ ‎4．C ‎5.　解析：连接EF.∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝2，∠A＝∠D＝90°.∵点E为AD的中点，∴AE＝DE＝1.在Rt△ABE中，BE＝＝＝，在Rt△DCE中，CE＝＝＝，∴BE＝CE＝.∵S△BCE＝S△BEF＋S△CEF，∴BC·AB＝BE·FG＋CE·FH，即BE(FG＋FH)＝BC·AB，∴(FG＋FH)＝2×3，解得FG＋FH＝.‎ ‎【变式题】‎ ‎(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠CBD＝∠EBD，∴∠ADB＝∠EBD，∴BE＝DE.‎ (2) 解：AB＝PM＋PN.理由如下：如图，延长MP交BC于Q.∵AD∥BC，PM⊥AD，∴PQ⊥BC.∵∠CBD＝∠EBD，PN⊥BE，∴PQ＝PN，∴AB＝MQ＝PM＋PQ＝PM＋PN.‎ ‎6．45°　 解析：连接AF.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3.∵FC＝2BF，∴BF＝1，FC＝2，∴AB＝FC.∵E是CD的中点，∴CE＝CD＝1，∴BF＝CE.在△ABF和△FCE中，∴△ABF≌△FCE(SAS)，∴∠BAF＝∠CFE，AF＝FE.∵∠BAF＋∠AFB＝90°，∴∠CFE＋∠AFB＝90°，∴∠AFE＝180°－90°＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF＝45°.‎ 3‎