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- 2023-11-26 发布
课时分层训练(四十六) 利用空间向量证明平行与垂直
(对应学生用书第289页)
A组 基础达标
一、选择题
1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α D．l与α相交
B [∵n＝－2a，∴a与平面α的法向量平行，∴l⊥α.]
2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A. B．
C. D．
D [由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴∴]
3．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
【导学号：79140251】
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．平行或在平面内
D [∵＝λ＋μ，∴、、共面，
∴AB与平面CDE平行或在平面CDE内．]
4．(2017·西安月考)如图778，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点．E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有( )
图778
A．B1E＝EB
B．B1E＝2EB
C．B1E＝EB
D．E与B重合
A [分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，设E(2,2，z)，＝(0,1，－2)，＝(2,2，z)，∵·＝0×2＋1×2－2z＝0，∴z＝1，∴B1E＝EB.]
5．如图779所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：
图779
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上说法正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴∥，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.①③④正确．]
二、填空题
6.如图7710所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．
图7710
垂直 [以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M，O，N，·＝·＝0，∴ON与AM垂直．]
7．(2017·广州质检)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．
α∥β [设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，
由m·＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，
由m·＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，
∴m＝(1,1,1)，m＝－n，
∴m∥n，∴α∥β.]
8．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________.
【导学号：79140252】
[由条件得
解得x＝，y＝－，z＝4，
所以x＋y＝－＝.]
三、解答题
9．如图7711，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.
图7711
[证明] 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.
依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，
则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)．
∴·＝0，·＝0.
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
又DQ∩DC＝D，∴PQ⊥平面DCQ，
又PQ平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.
10．(2017·郑州调研)如图7712所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED.
图7712
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
[解] (1)证明：∵PA＝AD＝1，PD＝，
∴PA2＋AD2＝PD2，
即PA⊥AD.
又PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD.
(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，
E，＝(1,1,0)，＝.设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即令y＝1，则n＝(－1,1，－2)．
假设侧棱PC上存在一点F，且＝λ(0≤λ≤1)，
使得BF∥平面AEC，则·n＝0.
又∵＝＋＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)，
∴·n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝，
∴存在点F，使得BF∥平面AEC，且F为PC的中点．
B组 能力提升
11．如图7713，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )
图7713
A．(1,1,1) B．
C. D．
C [设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，
又O是正方形ABCD对角线交点，
∴M为线段EF的中点．
在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(，，1)．
由中点坐标公式，知点M的坐标.]
12．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________.
【导学号：79140253】
①②③ [∵·＝0，·＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．
又与不平行，
∴是平面ABCD的法向量，则③正确．
∵＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，
∴与不平行，故④错误．]
13．(2017·北京房山一模)如图7714，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，
图7714
且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．
求证：(1)PB∥平面EFH；
(2)PD⊥平面AHF.
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，
P(0,0,2)，E(0,0,1)，
F(0,1,1)，H(1,0,0)．
(1)∵＝(2,0，－2)，＝(1,0，－1)，
∴＝2，∴PB∥EH.
∵PB平面EFH，且EH平面EFH，
∴PB∥平面EFH.
(2)∵＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，＝(0,1,1)，
∴·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，
·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.