数学文卷·2018届云南省昆明一中高三第一次摸底测试（2017 13页

昆明第一中学2018届高中新课标高三第一次摸底测试 文科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若对于变量的取值为3，4，5，6，7时，变量对应的值依次分别为4.0，2.5，-0.5，-1，-2；若对于变量的取值为1，2，3，4时，变量对应的值依次分别为2，3，4，6，则变量和，变量和的相关关系是（ ）‎ A．变量和是正相关，变量和是正相关 ‎ B．变量和是正相关，变量和是负相关 ‎ C．变量和是负相关，变量和是负相关 ‎ D．变量和是负相关，变量和是正相关 ‎3.已知复数为纯虚数（其中是虚数单位），则的值为（ ）‎ A．2 B．-2 C． D．‎ ‎4.如图，正方形内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知双曲线的中心为原点，点是双曲线的一个焦点，点到渐近线的距离为1，则的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C. 正方形 D．正六边形 ‎7.若满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A．2 B．1 C. -2 D．-1‎ ‎8. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为9，则判断框中可填入（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.若函数，则函数的零点个数是（ ）‎ A．5个 B．4个 C. 3个 D．2个 ‎10. 已知函数（），且，当取最小值时，以下命题中假命题是（ ）‎ A．函数的图象关于直线对称 ‎ B．是函数的一个零点 ‎ C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 ‎ D．函数在上是增函数 ‎11.在中，，，边上的高为2，则的内切圆半径（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线（）上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．1‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，向量，与共线，则 ．‎ ‎14.函数在处的切线方程为 ．‎ ‎15.已知，，则 ．‎ ‎16.四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在等差数列中，公差，前5项和，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求（）的值.‎ ‎18. 如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积..‎ ‎19. 某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，发现其成绩全部介于之间，将其成绩按如下分成六组，得到频数分布表 成绩 人数 ‎4‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎（1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；‎ ‎（2）估算该校50名学生成绩的平均值和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）以该校50名学生成绩的频率作为概率，试估计该市分数在的人数.‎ ‎20. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若的面积为，求直线的方程.‎ ‎21. 已知函数，，（其中，为自然对数的底数，……）.‎ ‎（1）令，求的单调区间；‎ ‎（2）已知在处取得极小值，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系中，为极点，半径为2的圆的圆心坐标为.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）设直角坐标系的原点与极点重合，轴非负关轴与极轴重合，直线的参数方程为（为参数），由直线上的点向圆引切线，求线线长的最小值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式解集非空，求实数的取值范围.‎ 昆明一中全国联考第一期参考答案 参考答案（文科数学）‎ 命题、审题组教师 杨昆华 李文清 孙思应 梁云虹 王在方 卢碧如 凹婷波 吕文芬 陈泳序 一、选择题 ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D B C A B B A D C B A 1. 解析：集合，，所以，选A.‎ 2. ‎ 解析：由正相关和负相关的定义知道，D正确，选D.‎ 3. 解析：因为，所以，选B.‎ 4. 解析：设正方形边长为，则圆半径为1.此时正方形面积为.图中黑色部分面积为.则此点取自黑色部分的概率为，选C.‎ 5. 解析：设的方程为：，由已知，，所以，所以的方程为，选A .‎ 6. 解析：因为用一个平面去截正方体，若截面为三角形，则截面三角形只能是锐角三角形，选B．‎ 7. 解析：如图，目标函数在点处取得最小值，且，选B.‎ 1. 解析：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算，选A.‎ 2. 解析：如图：函数与函数，有个交点，所以选D.‎ 3. 解析：，由得，即，由知的最小值是2，当取得最小值时，.由可得出：函数的图象关于直线对称，A为真；‎ 由可得出：是函数的一个零点，B为真；‎ 将函数的图象向左平移个单位得到的图象，所以C为假；‎ 由复合函数单调性可得在上是增函数，所以D为真，选C.‎ 4. 解析：由得，又由余弦定理，解得，从而的周长为．由得，选B ‎.‎ 1. 解析：由题意可得，设，当，；当，．要求的最大值，可设，则，可得．当且仅当时取得等号，选A.‎ 二、填空题 2. 解析：因为，且，所以，所以.‎ 3. 解析：因为，所以切线的斜率，所以切线方程为.‎ 4. 解析：由得，所以，‎ 所以，，‎ 所以.‎ 5. 解析：由题意可采用割补法，考虑到四面体的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，分别以，，为侧棱长且两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为，，的长方体，并且，，．设球半径为，则有，所以，得球的表面积为．‎ 三、解答题 1. 解：（Ⅰ）：据题意有， 解得 ， ‎ 所以数列的通项公式为； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：， ‎ 所以 ……‎ ‎…… ‎ ‎. ‎ 另解：设，则， ‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ‎ 所以数列的前项和. ‎ 2. 解：（Ⅰ）证明：连接，，点，分别为， 的中点，所以为△的一条中位线，‎ 平面，平面， ‎ 所以平面． ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设点，分别为，的中点，，则，，，由，得，解得，又平面，，‎ ‎． ‎ 所以三棱锥的体积为. ‎ 1. 解：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）； ‎ 由已知可设中位数为，则；‎ 所以，所求中位数为. ‎ ‎（Ⅲ）该市分数在的人数，故所求人数为人. ‎ 2. 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为： ， ‎ 由已知：得：，，‎ 所以，椭圆的方程为：. ‎ ‎（Ⅱ）由已知直线过左焦点．‎ 当直线与轴垂直时，，，此时，‎ 则，不满足条件． ‎ 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：‎ 由　得 ‎ 所以，， ‎ 而，‎ 由已知得，‎ ‎ ，‎ 所以，则，所以， ‎ 所以直线的方程为：或． ‎ 1. 解: (Ⅰ) 因为，‎ 所以，‎ 当时，，的单调递增区间为，‎ 当时，由，得，‎ 时，，时，，‎ 所以的减区间为 ，增区间为 ‎ 综上可得，当时，在上单调递增 当时，的增区间为，减区间为. ‎ ‎（Ⅱ）由题意得，，‎ ‎（1）当时，在上单调递增，‎ 所以当时，，‎ 当时，，‎ 所以在处取得极小值，符合题意.‎ ‎（2）当时，， 由（Ⅰ）知在单调递增，‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以在处取得极小值，符合题意.‎ ‎（3）当时，由（Ⅰ）知在区间单调递减，在区间单调递增，‎ 所以在处取得最小值，即，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 所以在处无极值，不符合题意.‎ ‎（4）当时，，由（Ⅰ）知的减区间为，‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以在处取得极大值，不符合题意，‎ 综上可知，实数的取值范围为. ‎ 第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 1. 解：（Ⅰ）设是圆上任意一点，‎ 如图，连接，并延长与圆交于点，‎ 当点异于，时，连接、，‎ 直角△中，，‎ 即，‎ 当点与，重合时，也满足上式，所求圆的极坐标方程为. ‎ ‎（Ⅱ）直线的普通方程为，圆心到直线的距离为，‎ ‎，所以直线与圆相离，‎ 故切线长的最小值为. ‎ ‎ ‎ 1. 解：（Ⅰ）由可化为：‎ 或或 解得：或或，所以，不等式解集为. ‎ ‎（Ⅱ）因为 所以，即的最小值为，‎ 要不等式解集非空，需，‎ 从而，解得或，‎ 所以的取值范围为. ‎