2017-2018学年河北省保定市高二下学期期末考试数学理试题（Word版） 11页

‎2017-2018学年河北省保定市高二下学期期末考试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数满足，则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设集合，则的元素的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.在平行四边形中，为线段的中点，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.从区间上任意选取一个实数，则双曲线的离心率大于的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.设有下面四个命题 若，则；‎ 若，则；‎ 若，则；‎ 若，则.‎ 其中真命题的个数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.若函数的图象与的图象都关于直线对称，则与的值分别为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.如图，格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.设满足约束条件，若，且的最大值为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.中国古代数学的瑰宝——《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体——鳖擩，它是指四面皆为直角三角形的四面体.现有四面体为一个鳖擩，已知平面，，若该鳖擩的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知定义域为正整数集的函数满足，则数列的前项和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设函数，若，则正数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.的展开式中的系数为 ．‎ ‎14.在正项等比数列中，，则公比 ．‎ ‎15.若函数为奇函数，则的取值范围为 ．‎ ‎16.已知点是抛物线上一点，是抛物线上异于的两点，在轴上的射影分别为，若直线与直线的斜率之差为，是圆上一动点，则的面积的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 的内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当取得最小值时，求的值.‎ ‎18. 如图，在三棱锥中，两两垂直，，且为线段的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.‎ ‎19. 某机构为了调查某市同时符合条件与(条件：营养均衡，作息规律；条件：经常锻炼，劳逸结合)的高中男生的体重(单位:)与身高(单位: )是否存在较好的线性关系，该机构搜集了位满足条件的高中男生的数据，得到如下表格:‎ 身高/‎ 体重/‎ 根据表中数据计算得到关于的线性回归方程对应的直线的斜率为.‎ ‎(1)求关于的线性回归方程(精确到整数部分)；‎ ‎(2)已知，且当时，回归方程的拟合效果较好。试结合数据，判断(1)中的回归方程的拟合效果是否良好？‎ ‎(3)该市某高中有位男生同时符合条件与，将这位男生的身高(单位:)的数据绘制成如下的茎叶图。若从这位男生中任选位，记这位中体重超过的人数为，求的分布列及其数学期望(提示:利用(1)中的回归方程估测这位男生的体重).‎ ‎20. 已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，点与点 分别为椭圆的上顶点与左焦点，且的面积为（点为坐标原点）.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）直线过且与椭圆交于两点，点关于的对称点为，求面积的最大值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论在上的单调性；‎ ‎（2）若对恒成立，求正整数的最小值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程（化为标准方程）及曲线的普通方程；‎ ‎（2）若圆与曲线的公共弦长为，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（3）若函数的最小值不小于的最小值，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:ACBDC 6-10:CDCBB 11、12：AC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵，‎ ‎∴‎ 即 ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎（2）‎ 当且仅当，即时，取等号.‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎18.（1）证明：因为，为线段的中点，‎ 所以.‎ 又两两垂直，且 所以平面，则.‎ 因为，‎ 所以平面.‎ ‎（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则.‎ ‎∵，‎ ‎∴可设，则，‎ ‎∴，‎ 则，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即 ‎ 令，得.‎ 平面的一个法向量为，‎ 则.‎ 故平面与平面所成二面角的正弦值为.‎ ‎19.解（1）依题意可知，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 故关于的线性回归方程为.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴，‎ 故（1）中的回归方程的拟合效果良好.‎ ‎（3）令，得，‎ 故这位男生的体重有为体重超过.‎ 的可能取值为.‎ 则的分布列为 ‎20.解：（1）∵的面积为，‎ ‎∴，即.‎ 又∵椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴的方程为.‎ ‎（2）由题意可知，点为的中点，则.‎ 设直线的方程为，‎ 联立，可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 设，则 ‎∵函数在上单调递减，‎ ‎∴当时，取得最大值.‎ ‎21.解：（1），‎ 当时，在上单调递增.‎ 当或时，，在单调递减.‎ 当且时，令，得；‎ 令，得.‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）∵对恒成立.‎ ‎∴，解得或，‎ 则正整数的最小值为.‎ 下面证明当时，对恒成立，过程如下：‎ 当时，‎ 令，得；‎ 令，得.‎ 故，‎ 从而对恒成立.‎ 故整数的最小值为.‎ ‎22.解：（1）由，得，‎ 所以，‎ 即，‎ 故曲线的直角坐标方程为.‎ 曲线的普通方程为 ‎（2）联立，得 因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，‎ 所以直线经过圆的圆心，‎ 则，‎ 又 所以 ‎23.解（1）由，得，‎ ‎∴或或 解得，故不等式的解集为.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 则或，‎ 解得.‎