- 329.29 KB
- 2023-11-24 发布
专题8 几何概型
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝.
例1 某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟．
(1)求乘客到站候车时间大于10分钟的概率；
(2)求候车时间不超过10分钟的概率；
(3)求乘客到达车站立即上车的概率．
变式1 在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上取一点M，则AM的长小于AC的长的概率为( )
A. B. C. D.
例2 向面积为S的△ABC内任意投一点P，则△PBC的面积小于的概率是多少？
变式2 如右图，在半径为1的半圆内放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，则该点落在正方形内的概率为________．
例3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率．
变式3 已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率．
A级
1．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2<1”，则P(A)等于( )
A. B. C．π D．2π
2．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A. B．1－ C. D．1－
3．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为( )
A. B. C. D.
4．在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( )
A. B. C. D.
5．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．
6．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
7．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．
B级
8．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )
A. B. C. D.
9．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A. B．1－ C. D．1－
10．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为( )
11．两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2 m的概率为________．
12．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
13．取一个边长为a的正方形，如图所示，随机地向正方形内丢一粒沙子，求沙子落入阴影部分的概率．
14．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
详解答案
典型例题
例1 解 (1)如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1、T2，T1T2＝15.
设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A.则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生．
∵T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，
∴P(A)＝＝.
(2)如图所示，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率为＝.
(3)如图所示，当t落在T0T2上时，乘客立即上车，故所求概率为＝＝.
变式1 A [在AB上截取AC′＝AC.点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D.当点M位于图中线段AC′上时，AM