数学理卷·2018届河北省沧州市高三12月教学质量监测（联考）（2017 12页

沧州市普通高中2017年高三教学质量监测 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在区间上随机选取一个数，则的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下面关于复数的四个命题：‎ 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为 的虚部为-1‎ 其中的真命题是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知等差数列，且，则数列的前11项之和为（ ）‎ A．84 B．68 C．52 D．44‎ ‎5．已知函数是偶函数，且在上是增函数，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在的展开式中，项的系数为（ ）‎ A．28 B．56 C．-28 D．-56‎ ‎7．若，，则（ ）‎ A．1 B． C． D．0‎ ‎8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）‎ A．5 B．11 C．14 D．19‎ ‎9．如图，用虚线表示的网格的小正方形边长为1，实线表示某几何体的三视图，则此几何体的外接球半径为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎10．已知，，则可以用表示为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点为线段的中点，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知数列满足，，.设，若对于，都有恒成立，则的最大值为（ ）‎ A．3 B．4 C．7 D．9‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知单位向量的夹角为60°，则 ．‎ ‎14．若满足约束条件则的取值范围为 ．‎ ‎15．已知是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，若，且，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎16．如图，在中，，.分别是边上的点，且.现将沿直线折起，形成四棱锥，则此四棱锥的体积的最大值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值.‎ ‎18．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，平面，且，点在线段上，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎19．某厂为检验车间一生产线是否工作正常，现从生产线中随机抽取一批零件样本，测量尺寸（单位：）绘成频率分布直方图如图所示：‎ ‎（Ⅰ）求该批零件样本尺寸的平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）若该批零件尺寸服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，利用该正态分布求；‎ ‎（Ⅲ）若从生产线中任取一零件，测量尺寸为，根据原则判断该生产线是否正常？‎ 附：；若，则，，.‎ ‎20．对于椭圆，有如下性质：若点 是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为.利用此结论解答下列问题.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若动点在直线上，经过点的直线与椭圆相切，切点分别为.求证直线必经过一定点.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）试判断函数零点的个数.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求曲线和直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若点为曲线上一点，求点到直线的距离的最大值.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若的解集包含，求实数的取值范围.‎ 普通高中2017年12月高三教学质量监测 数学（理科）试卷参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:BBCDC 6-10:AACAA 11、12：DA 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）由题得，.‎ 由最小正周期为，得.‎ ‎∴.‎ 由，，‎ 得，.‎ 故函数的单调递增区间是，；‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 又∵为锐角，‎ ‎∴.‎ 由余弦定理，得，‎ ‎∴.‎ 即，当且仅当时，等号成立.‎ ‎∴.‎ ‎∴面积的最大值为.‎ ‎18．解：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，‎ ‎∴.‎ 又∵底面为正方形，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴平面.‎ ‎∴.‎ 设交于点，如图，在中，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴由余弦定理可得.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵，平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ 又∵在平面内，‎ ‎∴平面平面；‎ ‎（Ⅱ）∵为正方形，且平面，‎ ‎∴，，.‎ 以点为原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示.‎ 由题意知，，且.‎ 则，，，，，‎ ‎∴，，‎ ‎，，.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则即 令，得.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则即 令，得.‎ ‎∴二面角的余弦值为，‎ 于是二面角的余弦值为.‎ ‎19．解：（Ⅰ）.‎ ‎；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.‎ 从而，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅲ）∵，，‎ ‎∴.‎ ‎∵，小概率事件发生了，‎ ‎∴该生产线工作不正常.‎ ‎20．解：（Ⅰ）∵椭圆在点处的切线方程为，‎ 其斜率为，‎ ‎∴.‎ 又点在椭圆上，‎ ‎∴.‎ 解得，.‎ ‎∴椭圆的方程为；‎ ‎（Ⅱ）设，，，‎ 则切线，切线.‎ ‎∵都经过点，‎ ‎∴，.‎ 即直线的方程为.‎ 又，‎ ‎∴，‎ 即.‎ 令得 ‎∴直线必经过一定点.‎ ‎21．解：（Ⅰ）当时，，，‎ ‎∵，，‎ ‎∴在处的切线方程为，即；‎ ‎（Ⅱ）由题知，的定义域为，‎ ‎.‎ ‎①当时，对于定义域中任意，有，在上是增函数.‎ 又，并且当时，，‎ ‎∴有唯一的零点；‎ ‎②当时，在上，单调递减；‎ 在上，，单调递增.‎ 又当时，，并且.这是因为：‎ ‎.‎ 设，则.‎ 记，则.‎ ‎∵在上，，单调递减；‎ 在上，，单调递增，‎ ‎∴的最小值为，即成立，‎ ‎∴在区间内存在一点，使得.‎ 则函数零点的个数取决于的最小值的正负.‎ 又函数的最小值为.‎ 记，则是上的增函数.‎ 又观察，得，‎ ‎∴当时，的最小值小于0，即有两个零点；‎ 当时，的最小值为0，有唯一的零点；‎ 当时，的最小值大于0，没有零点.‎ 综上所述，当或时，有唯一的零点；‎ 当时，有两个零点；‎ 当时，没有零点.‎ ‎22．解：（Ⅰ）曲线的普通方程，‎ 直线的普通方程为；‎ ‎（Ⅱ）∵点为曲线上一点，‎ ‎∴点的坐标为，‎ 根据点到直线的距离公式，得 ‎.‎ ‎∴.‎ ‎23．解：（Ⅰ）当时，，即.‎ 当时，不等式化为，解得；‎ 当时，不等式化为，解得；‎ 当时，不等式化为，解得.‎ 综上，不等式的解集为或；‎ ‎（Ⅱ）的解集包含在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立 ‎，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎