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- 2023-11-23 发布
2016-2017学年度第二学期期中考试
高三数学试题
（考试时间：120分钟 总分：160分）
命题人、审核：姜堰区高中数学工作室
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效.
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．）
1．设集合，则 ▲ .
2．函数的定义域是 ▲ .
3．函数的值域为 ▲ .
4．已知函数，则导函数值 ▲ .
5．若，则 ▲ .
6．在中，若，则 ▲ .
7．设向量，且，则 ▲ .
8．已知为等差数列，为其前项和，若，则 ▲ .
9．关于的不等式的解集为，且，则的值为 ▲ .
10．函数的最小值为 ▲ .
11．已知函数的导函数为，若的图象如图，则函数的单调增区间为 ▲ .
12．在矩形中，，边上（包含端点）的动点与延长线上（包含点）的动点满足，则的最小值是 ▲ .
13．各项均为正数的等比数列满足，则的取值范围是
▲ .
14．若实数满足，则的最小值为 ▲ .
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本题满分14分）
已知函数.
（1）求最小正周期；
（2）当时，求函数的值域；
（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求的解析式.
16．（本题满分14分）
设的内角所对的边分别为.已知.
（1）求的周长；
（2）求的值.
17．（本题满分14分）
已知函数，实数满足，设.
（1）当函数的定义域为时，求的值域；
（2）求函数关系式（无需求函数的定义域）.
18．（本题满分16分）
如图所示的铁片由两部分组成，半径为1的半圆及等腰直角，其中．现将铁片裁剪成尽可能大的直角梯形铁片(不计损耗) ，，且点在弧上．点在斜边上,分别交于．设.
（1）求梯形铁片的面积关于的函数关系式，并写出其定义域；
A
D
O
F
C
H
E
B
θ
M
N
（2）试确定的值，使得梯形铁片的面积最大，并求出最大值．
19．（本题满分16分）
已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足．
①求数列的通项公式；
②是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．（本题满分16分）
已知常数，函数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论在上的单调性；
（3）若f (x)在上存在两个极值点，且，求实数的取值范围．（参考公式：）
2016-2017学年度第二学期期中考试
高三数学参考答案
1. 2. 3. 4.2 5. 6. 7.
8.6 9. 10.3 11. 或 12.
13． 14.
15．解：
---4分
（1）所以最小正周期 ---6分
（2）当时，，，
所以的值域为 ---10分
（3）将函数的图象向右平移个单位，
得到 ---14分
16．解：（1）由余弦定理可得，，
所以 ---4分
所以的周长为5. ---6分
（2）在中，因为，所以 ---7分
由正弦定理，可得, ---10分
由余弦定理得 ---12分
所以 ---14分
17．（1）令，当时，， --3分
函数可化简为，可以判断在上单调递增，所以的值域为，
即的值域在的值域为. --7分
（2）由可得，
化简得， --10分
因为，所以，即，. --14分
18．（1）因为，所以 --4分
所以 --7分
（2）
， --9分
当，单调递增,
当，单调递减, --12分
所以当且仅当时，. --16分
答：当时，梯形铁片ABCD的面积S最大，最大值为
19． 解：（1）设数列的公差为，则．
由，得，
解得或（舍去），所以 --5分
（2）①因为，
所以，
所以
累加得，所以 --9分
也符合上式．故． --10分
②假设存在正整数，使得成等差数列，则．
又，
所以
化简得 --12分
当，即时，（舍去）；
当，即时，，符合题意．
所以存在正整数，，使得成等差数列． --16分
20. 解：(1) 当时，，当
所以，在点处的切线方程为 --4分
（2）由题意可知：
当时，，此时，在区间上单调递增． --6分
当0＜a＜1时，由f ¢(x)＝0得：x1＝ （x2＝－＜0舍去）
当x∈(0, x1)时，f ¢(x)＜0；当x∈(x1,＋∞)时，f ¢(x)＞0.
故f (x)在区间(0, x1)上单调递减，在区间(x1,＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≥1时，f (x)在区间(0,＋∞)上单调递增； --8分
当0
＜a＜1时，f (x)在区间(0, )上单调递减，在区间(,＋∞)上单调递增． --10分
（3）由（2）知，当a≥1时，f ¢(x)≥0，此时f (x)不存在极值点，
因而要使得f (x)有两个极值点，必有0＜a＜1.
又∵f (x)的极值点只可能是x1＝和x2＝－，
由g(x)的定义可知，x＞－且x≠－2，∴－＞－且x≠2
解得：0＜a＜或＜a＜1 --12分
此时，由（）式易知，x1, x2分别是f (x)的极小值点和极大值点．
而g(x1)＋g(x2)＝ln(ax1＋1)(ax2＋1)－－
＝ln[a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1]－＝ln(2a－1)2－
＝ln(2a－1)2－－2 --14分
令x＝2a－1，由0＜a＜且a≠知，当0＜a＜时，－1＜x＜0；当＜a＜1时，0＜x＜1 ，记h(x)＝lnx2＋－2．
①当－1＜x＜0时，h(x)＝2ln(－x)＋－2，
设t＝－x∈(0,1)，j(t)＝2lnt－－2单调递增 ∴j(t)＜j(1)＝－4＜0
∴h(x)＜－4＜0，故当0＜a＜时，g(x1)＋g(x2)＜0，不合题意，舍去．
②当0＜x＜1时，h(x)＝2lnx＋－2，∴h¢(x)＝－＝＜0，
∴h(x)在(0,1)上单调递减，∴h(x)＞h(1)＝0，故当＜a＜1时，g(x1)＋g(x2)＞0．
综上，a的取值范围为． --16分
姜堰区2016-2017学年度第二学期期中考试
高三数学试题（附加题）
（考试时间：30分钟 总分：40分）
命题人、审核人：高中数学工作室
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效.
1．（本题满分10分）
已知集合.
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
2.（本题满分10分）
已知向量，若，求：
（1）；
（2）的值.
3.（本题满分10分）
已知函数，试求的单调区间；
4．（本题满分10分）
已知数列的前项和，是等差数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
2016-2017学年度第二学期期中考试
高三数学（附加题）参考答案
1.解：（1）解不等式得，即， ---5分
（2）因为，所以，所以 ---10分
2．因为，且，
所以，所以； ---2分
又因为，所以;
（1） ---4分
（2） ---4分
3.解： 由已知条件可得， ---2分
（1）当时，，函数在上单调递增； ---4分
（2）当时，由，得或，
①若，则，此时，
函数在上单调递减； ---6分
②若，则，由，解得，由，解得，所以函数在上单调递增，在与上单调递减； ---8分
③若，则，同理可得，函数在上单调递增，在与上单调递减. ---10分
综上所述①当时，函数在上单调递增；
②当时，函数在上单调递减；
③当时，函数的增区间为，减区间为与；
④当时，函数在上单调递增，在与上单调递减.
4. （1）由题意当时，，当时，；
所以； ---2分
设数列的首项为，公差为，由，即，
解得，所以 ---5分
（2）由（1）知，又，即，
所以，
以上两式两边相减得
.
所以. ---10分